Respuestas
Fórmula del módulo de un vector
Para hallar el módulo de un vector en el plano se debe aplicar la siguiente fórmula:
Para determinar el módulo de un vector tenemos que calcular la raíz cuadrada (positiva) de la suma de los cuadrados de sus componentes. Es decir, si tenemos el siguiente vector:
\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)
Su módulo es:
\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}
Por ejemplo, vamos a calcular el módulo del siguiente vector utilizando la fórmula:
\vv{\text{u}} = (4,3)
\lvert \vv{\text{u}} \rvert =\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9}=\sqrt{25} = \bm{5}
Calcular el módulo de un vector con las coordenadas de su origen y su extremo
Acabamos de ver cómo se determina el módulo de un vector cuando sabemos sus componentes, pero ¿y si solo conocemos los puntos donde empieza y donde termina?
Entonces, para calcular el módulo de un vector a partir de las coordenadas de su origen y su extremo debemos seguir estos dos pasos:
Primero hallamos las componentes del vector. Para ello, tenemos que restar el extremo menos el origen.
Y luego calculamos el módulo del vector obtenido con la fórmula que hemos visto en el apartado anterior.
Veamos cómo se hace mediante un ejemplo:
Calcula el módulo del vector que tiene como origen el punto A(2,1) y como extremo el punto B(-1,4).
Primero tenemos que hallar las componentes del vector, así que restamos su extremo menos su origen:
\vv{AB}=B-A=(-1,4)-(2,1)=(-3,3)
Una vez sabemos el vector, calculamos su módulo mediante la fórmula del módulo de un vector:
\begin{vmatrix} \vv{AB} \end{vmatrix} =\sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}
Y dejamos el resultando en forma de raíz cuadrada, ya que no es exacta.
Cómo calcular las componentes de un vector a partir de su módulo
Hemos visto cómo sacar el módulo de un vector a partir de sus componentes, pero también se puede hacer el proceso inverso. Es decir, podemos calcular las componentes de un vector a través de su módulo.
El proceso que permite encontrar las componentes de un vector a partir de su módulo se denomina descomposición vectorial. Así pues, para descomponer un vector necesitamos su módulo, evidentemente, y el ángulo que forma con el eje de las abscisas (eje X).
De manera que se pueden calcular las componentes X e Y del vector con las razones trigonométricas:
descomposicion de un vector en matlab
Como puedes ver en la imagen, el módulo de un vector forma un triángulo rectángulo con sus componentes, por lo que se pueden aplicar las fórmulas elementales de la trigonometría.
Hay que tener en cuenta que, a diferencia del módulo de un vector, sus componentes sí que pueden ser negativas porque el seno y el coseno pueden tomar valores negativos.
A modo de ejemplo, vamos a resolver la descomposición vectorial del vector cuyos módulo y ángulo con el eje OX son:
\lvert \vv{\text{u}} \rvert = 10 \qquad \alpha = 60º
La componente horizontal del vector es igual al módulo multiplicado por el coseno del ángulo:
\text{u}_x= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{cos}(60º)= 10 \cdot 0,5 = 5
Y la componente vertical del vector es igual a la multiplicación del módulo por el seno del ángulo:
\text{u}_y= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{sen}(60º)= 10 \cdot 0,87 = 8,7
De forma que el vector es el siguiente:
\vv{\mathbf{u}}\bm{ = (5 \ ,\ 8,7)}