Question

Desde una altura de 50 metros se lanza una pelota horizontalmente con una velocidad de 20 m/s. a) Calcula el tiempo que tarda la pelota el llegar al suelo. b) Encuentra la distancia a la que cae la pelota​

Answer 1

a) El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la pelota es de 3.19 segundos llegando al suelo para ese instante de tiempo

b) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ de la pelota es de 63.80 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por la misma al caer

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$ , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende

a) Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la pelota

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzó el proyectil $\bold{H = 50 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 50 \ m }{ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 100 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{10.20408163 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 3.1943 \ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 3.19 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la pelota es de 3.19 segundos

b) Determinamos el alcance máximo de la pelota es decir la trayectoria horizontal recorrida

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =20 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 3.19\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 63.8 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 63.8 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por la pelota

Aunque el enunciado no lo pida:

Hallamos la velocidad con la cual la pelota impacta en el piso

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 3.19 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =20 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 3.19 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-31.26\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad para el instante de tiempo en que el cuerpo llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(20 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-31.26 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{400\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +977.1876 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1377.1896\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 37.11047 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 37.11 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la cual impacta la pelota en el piso es de 37.11 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento