Question

Probar que:

1/1! + 1/2! +...+ 1/n!

Es convergente

Plis ayúdenme

Answer 1

Criterio de la razón

Se dice que una serie converge por criterio de la razón si:

$r=\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1$

Evaluamos esta condición, sabemos que:

$r= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}$

$r= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{(n+1)!}$

$r= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{(n+1)n!}$

$r= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1}$

$r = 0<1$

Concluimos que la serie es convergente por criterio de la razón.

Criterio de comparación

No se exactamente como quieres que lo pruebe, pero una forma válida de hacerlo es por criterio de comparación. Sabemos que:

n! ≥ 2ⁿ⁻¹, ∀ n ≥ 1, n ∈ N

Por tanto, se cumplirá entonces la desigualdad de sus recíprocos, esto es:

$\dfrac{1}{n!} \le\dfrac{1}{2^{n-1}}\quad \forall n\in\mathbb{N}$

Nota que si se cumple esta desigualdad, entonces también se cumple que:

$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!} \le\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{2^{n-1}}\quad \forall n\in\mathbb{N}$

Pero la serie $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{2^{n-1}}$ es la serie geométrica con |r| < 1, por tanto, converge. De acá que la sumatoria 1/1! + 1/2! +...+ 1/n! también converja por criterio de comparación.

Hemos probado que la serie 1/1! + 1/2! +...+ 1/n! es convergente. Saludos!