Question

Simbolizar usando cuantificadores y negar la proposición cuantificada: “para todo numero perteneciente al conjunto de los números reales, existe un único número y perteneciente a los números reales, talque la diferencia de x menos y es positiva”

Answer 1

Respuesta:

$\forall x\left( x \in \mathbb{R}\right \rightarrow\exists y (y \in \mathbb{R} \wedge \forall z(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

Negación:

$\equiv \exists x ( x \in \mathbb{R} \wedge \forall y (\neg (y \in \mathbb{R}) \vee \exists z (((y=z) \wedge \neg( (x-y)>0)) \vee (\neg(y=z) \wedge (x-y)>0))))$

Explicación paso a paso:

Generalmente par indicar un ¨Para todo¨ en un cierto universo de discurso se emplea el símbolo  $\forall$ y para indicar que existe algo en dicho universo se emplea el símbolo $\exists$

para indicar que un objeto, digamos $x$, pertenece a cierto conjunto $A$ se utiliza el relator (símbolo de relación) $\in$, es decir, $x \in A$ indica que el objeto

Los números reales se simbolizan con el símbolo de constante $\mathbb{R}$  (Existe un único cuerpo ordenado y completo, salvo isomorfismos)

Para indicar que existe un elemento que cumple cierta expresión $\alpha$ en nuestro caso, con $\alpha \equiv (x-y)>0$ ( "$x$ menos $y$ positivo") se utiliza el símbolo $\dot \exists$ que se puede pensar como una abreviación, en el siguiente sentido

$\dot\exists x \alpha \equiv \exists x \forall y (x=y \leftrightarrow \alpha)$

Por tanto tenemos:

$\forall x\left( x \in \mathbb{R}\right \rightarrow\exists y (y \in \mathbb{R} \wedge \forall z(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

Procedemos a negar dicha expresión teniendo en cuenta que

$\neg \forall \alpha \equiv \exists x \neg \alpha$

$\neg\exists x \alpha \equiv \forall x \neg \alpha$

de donde

   $\neg \forall x\left( x \in \mathbb{R}\right \rightarrow\exists y (y \in \mathbb{R} \wedge \forall z(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

$\equiv \exists x \neg \left( x \in \mathbb{R}\right \rightarrow\exists y (y \in \mathbb{R} \wedge \forall z(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

$\equiv \exists x ( x \in \mathbb{R} \wedge \neg\exists y (y \in \mathbb{R} \wedge \forall z(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

$\equiv \exists x ( x \in \mathbb{R} \wedge \forall y \neg (y \in \mathbb{R} \wedge \forall z(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

$\equiv \exists x ( x \in \mathbb{R} \wedge \forall y (\neg (y \in \mathbb{R}) \vee \neg\forall z(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

$\equiv \exists x ( x \in \mathbb{R} \wedge \forall y (\neg (y \in \mathbb{R}) \vee \exists z \neg(y=z \leftrightarrow (x-y)>0)))$

$\equiv \exists x ( x \in \mathbb{R} \wedge \forall y (\neg (y \in \mathbb{R}) \vee \exists z (((y=z) \wedge \neg( (x-y)>0)) \vee (\neg(y=z) \wedge (x-y)>0))))$