En una reunión hay 12 personas, Todas se saludaron dándose un apretón de manos.Cuantos apretones de mano hubo a)60 b)65 c)66 d)50 e)53
Respuestas
Respuesta:
Con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B).
Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con C).
Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C y D, C con D).
En general, con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros n números naturales consecutivos:
1 +2 +3 + … + n
Dicha expresión es la de la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia 1,y viene dada por:
n (1 +n) / 2
Así que, tenemos que resolver la ecuación:
n (1 +n) / 2 = 66
que es una ecuación de segundo grado que podemos expresar como:
n 2 + n – 132 = 0
Resolviendo dicha ecuación obtenemos como solución válida n=11 , y de dicho resultado se deduce que había 12 personas en la reunión.
Si recurrimos a la combinatoria, nuestro problema se trata de combinaciones de n elementos tomados de dos en dos (sin repetición), cuya expresión es la siguiente:
Luego, en nuestro caso tenemos que:
Simplificando los factoriales nos queda:
Y, simplificando aún más, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
n2 – n – 132 = 0
De donde se obtiene como solución válida al problema n=12, es decir, había 12 personas en la reunión.
Pero…
… hay una tercera forma de plantear este problema de los apretones de manos que me gusta personalmente, y es recurriendo a la geometría.
Podemos considerar a cada persona de la reunión como un vértice de un polígono cualquiera, de manera que tendríamos un polígono de n vértices y, por tanto, también de n lados.
Planteado así, un apretón de manos entre dos personas sería la línea que une los vértices que representan a esas dos personas.
De esta manera, el número total de apretones de manos será la suma de las diagonales y lados de dicho polígono.
Como en un polígono de n lados, el número de diagonales viene dado por la expresión:
apretones01
El número total de apretones será:
apretones02
Igualando ahora a 66 (el número total de apretones de manos que nos dicen que ha habido en la reunión)…
apretones03
Y simplificando obtenemos la ecuación de segundo grado que vimos antes al resolver el problema utilizando la combinatoria:
n2 – n – 132 = 0
Cuya solución válida era n=12, es decir, en la reunión estaban 12 personas.
Como comprobación, si dibujáis ahora un polígono de 12 vértices (12 lados) y trazáis todas sus diagonales posibles, observaréis que junto con sus 12 lados suman en total 66.
Explicación paso a paso: