Question

Complete with his/her/their
I saw Liz with ---his/her/their--- husband, Jim
Liz and Jim traveled with --his/her/their-- son.

Answer 1

en la primera seria HER porque estan hablando del esposo de ella HER ES PARA MUJER Y HIS ES PARA HOMBRE. 
 en la segunda seria THEIR porque es el hijo de los dos y no seria adecuado o correcto poner HER O HIS no encajaria 

Answer 2

I saw Liz with her husband, Jim    ("Her" porque es "su" de ella, de Liz)
-> Ví a Liz con su esposo, Jim

Liz and Jim traveled with their son ("Their" porque es "su" de ellos, de Liz y Jim)
-> Liz y Jim viajaron con su hijo