Question

La altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo divide a esta en segmentos
cuyas longitudes son 6 y 21cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

Answer 1

TEOREMA DE EUCLIDES

Teorema de la altura

Este teorema indica que:

En todo triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada del producto de las proyecciones que establece sobre la hipotenusa.

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Para considerar:

• Cuando se traza la altura relativa a la hipotenusa, ésta divide en dos segmentos a la hipotenusa. Éstas son llamadas proyecciones sobre la hipotenusa.

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Ver imagen adjunta.

Además, se cumple que:

$\Large{\boxed{\mathsf{a = \sqrt{c \cdot m}}}}$

$\Large{\boxed{\mathsf{b = \sqrt{c \cdot n}}}}$

Donde:

• "a" y "b" son los catetos
• "c" es la hipotenusa
• "m" y "n" son los segmentos en que la hipotenusa queda dividida.

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En este ejercicio:

Indica que la altura correspondiente a la hipotenusa divide a esta en segmentos, cuyas medidas son 6 cm y 21 cm.

Es decir, las proyecciones de la altura sobre la hipotenusa miden 6 cm y 21 cm.

Claramente, si sumamos estos segmentos, obtendremos la medida de la hipotenusa.

Así que:

• m = 6 cm
• n = 21 cm
• Hipotenusa: 27 cm

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Aplicamos la fórmula para hallar un cateto:

$\mathsf{a = \sqrt{c \cdot m}}$

$\mathsf{a = \sqrt{27\: cm \cdot 6\: cm}}$

$\mathsf{a = \sqrt{162\: cm^{2}}}$

$\mathsf{a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^{4}}}$

$\boxed{\mathsf{a = 9\sqrt{2}\: cm}}$

Si deseamos expresarlo en forma decimal:

$\boxed{\mathsf{a = 12,73\: cm}}$

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Aplicamos la fórmula para hallar el otro cateto:

$\mathsf{b = \sqrt{c \cdot n}}$

$\mathsf{b = \sqrt{27\: cm \cdot 21\: cm}}$

$\mathsf{b = \sqrt{567\: cm^{2}}}$

$\mathsf{b = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3^{4}}}$

$\boxed{\mathsf{b = 9\sqrt{7}\: cm}}$

Si deseamos expresarlo en forma decimal:

$\boxed{\mathsf{b = 23,81\: cm}}$

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Respuesta.

►  Los catetos miden 12,73 cm y 23,81 cm.

      O bien:

►  Los catetos miden 9√2 cm y 9√7 cm.

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Ver más: https://brainly.lat/tarea/11465080‏‏

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