Question

Hallar el volumen del prisma si los vectores que forman la base son: (3, 4, 2) y (4, 0, -2) los componentes de la altura son: (2, 2, 3).

Answer 1

El volumen del prisma determinado por esos vectores es 36.

Explicación paso a paso:

Si los vectores que forman la base son (3,4,2) y (4,0,-2), el módulo dl producto vectorial entre ellos nos da el área del paralelogramo que forman.

$(3,4,2)\times(4,0,-2)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&4&2\\4&0&-2\end{array}\right] =i(4(-2)-0.2)-j(3(-2)-4.2)+k(3.0-4.4)\\\\(3,4,2)\times(4,0,-2)=(-8,14,-16)$

$||-8,14,-16||=\sqrt{8^2+14^2+16^2}=\sqrt{516}=2\sqrt{129}$

Y el producto vectorial nos da un vector perpendicular a la base. La altura de un prisma es la distancia entre sus dos bases en dirección perpendicular a ellas, por lo que, si sus coordenadas son (2,2,3), la altura es la proyección de ese vector en la dirección del que acabamos de hallar.

$h=\frac{(-8,14,-16).(2,2,3)}{||-8,14,-16||}=\frac{(-8).2+14.2-16.3}{2\sqrt{129}}=\frac{-36}{2\sqrt{129}}=\frac{-18}{\sqrt{129}}$

La altura de un prisma tiene que ser positiva por lo que tomamos el valor absoluto, y el volumen del prisma es:

$V=A_b.h=2\sqrt{129}.\frac{18}{\sqrt{129}}=36$