Question

En el gráfico se aprecia la torre inclinada de Pisa, considerada un símbolo de Italia. Calcula la altura de la torre si se sabe que tiene una inclinación de 10° con respecto a la vertical. Sugerencia: como tiene una inclinación de 10°, el ángulo A medirá 80°. Ahora puedes calcular el ángulo B

Answer 1

La altura de la Torre de Pisa es de aproximadamente 55.01 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la altura de la torre inclinada de Pisa, el lado AC (b) que equivale a la distancia desde determinado punto en el suelo hasta la base de la torre de Pisa  y el lado BC (a) que es la proyección del ángulo de elevación al sol.      

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Hallando el valor del ángulo A (α)  - Para conocer la inclinación de la torre inclinada de Pisa

Sucede que la torre de Pisa al alejarse de la vertical se inclina 10° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical  hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo

Vamos a calcular la inclinación de la Torre de Pisa

Si la Torre de Pisa no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este ejercicio al inclinarse la torre en el sentido horario debemos restar la inclinación de 10° dada con respecto a la línea vertical de 90°

Denotamos al ángulo A como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 90^o -\ 10^o = 80^o }}$

El ángulo A (α) mide 80° grados

Al ángulo C de elevación de 33° dado por enunciado lo denotaremos como γ

Si

$\boxed {\bold { \gamma = 33^o }}$

Hallando el valor del ángulo B (β)    

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo y hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 80^o+ 33^o+ \beta}}$

$\boxed {\bold {\beta = 180^o - 80^o- 33^o }}$

$\large\boxed {\bold {\beta= 67^o }}$

El valor del ángulo B (β) es de 67°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculando la altura de la Torre de Pisa

Hallando el valor del lado c

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{92.97 \ metros}{ sen(67 )^o } = \frac{ c }{sen(33)^o } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 92.97 \ metros \ . \ sen(33 )^o }{sen(67)^o } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 92.97\ metros \ . \ 0.5446390350150 }{ 0.9205048534524 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 50.635091085347 \ metros }{0.9205048534524 } }}$

$\boxed { \bold { c \approx 55.007956 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { c \approx 55.01 \ metros }}$

La altura de la Torre de Pisa es de aproximadamente 55.01  metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas