Question

Se derrama petróleo de un tanque roto formando una mancha circular. Si el radio del círculo aumenta a razón de 1.5 pies por segundo, ¿Con qué rapidez aumenta el área cubierta al término de dos horas?

Answer 1

La rapidez en que aumenta el área cubierta al término de dos horas es de 32400π pies²/s

Sabemos el área del círculo está dada por:

$A = \pi r^2$

Donde tenemos como datos que el radio cambia a una razón constante de:

$\dfrac{dr}{dt} = 1.5 \ \ pies/s$

Por tanto, el radio aumenta a una velocidad constante cuyo valor dependiendo del tiempo es:

r = 1.5t   [pies]

La razón de cambio del área es simplemente su derivada con respecto al tiempo, que podemos expresar como:

$\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \dfrac{dr}{dt} \text{\ \ \ \ \ [pies ^2 /s]}$

$\dfrac{dA}{dt} = 2\pi (1.5t) (1.5) \text{\ \ \ \ \ [pies ^2 /s]}$

$\boxed{\dfrac{dA}{dt} = 4.5\pi t \text{\ \ \ \ \ [pies ^2 /s]}}$

Evaluamos entonces para 2 horas, pero debemos sustituir el tiempo en segundos ya que la razón de cambio está en pies²/segundos, para ello convertimos:

$t = 2\ h \cdot \dfrac{3600\ s}{1\ h } = 7200\ s$

Finalmente evaluamos:

$\dfrac{dA}{dt} = 4.5\pi (7200) \text{\ \ \ \ \ [pies ^2 /s]}$

$\boxed{\dfrac{dA}{dt} = 32400\pi \text{\ \ \ [pies ^2 /s]}}$

R/ La rapidez en que aumenta el área cubierta al término de dos horas es de 32400π pies²/s