Question

D´onde corta por segunda vez la recta normal de la recta y = −2x−2 a la curva y = x2 + 2x + 2.

Answer 1

Primero hallamos el punto de corte entre Y = X² + 2X + 2 , Y = -2X - 2.

Igualamos.

X² + 2X + 2 = -2X - 2

X² + 4X + 4 = 0 

$X= \frac{-b+/- \sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

Donde:  a = 1;  b = 4;  c = 4.

$X= \frac{-4+/- \sqrt{16-4(1)(4)} }{2}$

$X= \frac{-4+/- \sqrt{16-16} }{2}$

X = -4/2;  X = -2

Con X = -2

Y = (-2)² +2(-2) +2 = 4 - 4 + 2 = 2,  Y = 2

Y = -2(2) + 2;  Y = -4 + 2 = 2.

Entonces el punto de corte tiene las coordenadas (-2 , 2)
 
Tenemos que hallar la recta normal(perpendicular) a la recta Y= -2x - 2 que pasa por el punto (-2 , 2)

Para que dos rectas sean perdendiculares el producto de sus pendientes debe ser -1.

m1 x m2 = -1

m1= -2;  m2 = ?,  -2m2 = -1;  m2= -1/-2= 1/2

Ahora para hallar la ecuacion usamos.

Y - Y1 = m(X - X1)  ==>  m = 1/2,  Y1= 2,  X1 = -2

Y - 2 = (1/2)(X -(-2)) = Y - 2 = 0.5X + 1;  Y = 0.5X + 3

Ahora bien para saber los puntos de cortes igualamos.

X² + 2X + 2 = 0.5X + 3;   X² + 1.5X - 1 = 0.

Desarrollamos:

$X= \frac{-b+/- \sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

donde a = 1;  b = 1.5;  c = -1.

$X= \frac{-1.5+/- \sqrt{2.25-4(1)(-1)} }{2(1)}$

$X= \frac{-1.5+/-2.5}{2}$

X1 = (-1.5 + 2.5)/2 = (1)/2 = 0.5

X2 = (-1.5 - 2.5)/2 = -4/2 = -2.

Ahora Reemplazamos el X1 = 0.5 en cualquiera de las 2 funciones.

Y = 0.5(X) +3;  Y = 0.5(0.5) +3 = 3.25.

Y = X² + 2X + 2,  (0.5²) + 2(0.5) + 2 = 0.25 + 1 + 2 = 3.25

El segundo punto de corte es en las coordenadas (0.5 , 3.25).

Ya que el primero se produce en el punto  (-2 , 2)