Question

Sucesion geometrica:

1) A1 = 0,6 R = 3 ¿Cual es la suma de los 9 primeros términos?

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2)¿ Cuantos términos tiene la sucesión? * Hallar la razón
A1= 2
A2= 4
R = ?
A? = 32768 (necesito hallar que termino es este)

Answer 1

  Partiendo de la fórmula que da la suma de los términos de una progresión aritmética 
S1 = n/2 (a1 + an) 
Aplicada a los 100 términos cuya suma vale -1, se tiene 
- 1 = 100/2 (a1 + an) 
50 a1 + 50 an = -1............[1] 
Si observamos que los términos que ocupan los lugares pares son la mitad y su primer miembro es a2 y el último sigue siendo an, el cual ocupa el 100º lugar, aplicando igual fórmula tendremos 
1 = 50/2 (a2 + an) 
multiplicando ambos miembros por 2 y reordenando nos queda 
50 a2 + 50 an = 2..............[2] 
Restando a esta ecuación la [1] se tiene 
50 a2 - 50 a1 = 2 - (-1) 
50 (a2 - a1) = 3 
Pero a2 - a1 = r (razón), luego nos queda 
50 r = 3 
r = 3/50 
r = 0,06 
También sabemos que an = a1+r (n-1), o sea 
an = a1 + 5,94...............[3] 
valor que sustituído en [1] nos da 
50 a1 + 50 (a1 + 5,94) = -1 
50 a1 + 50 a1 + 297 = -1 
100 a1 = - 298 
a1 = - 2,98 
reemplazando este valor de a1 en [3] nos da para 
an = - 2,98 + 5,94 
an = 2,96 
Si aplicamos los datos obtenidos en la [2] para confirmar se tiene: 
50 (-2,98) + 50 (2,96) = -1 

Como la pregunta requiere la suma de los cuadrados de los 100 primeros términos de los cuales conocemos el 1º, el último y la razón, desarrollando esa serie de potencias de 2 de la progresión aludida, tenemos que la suma que llamaremos Sp, va a ser: 
Sp = a1² + (a1+r)² + (a1+2r)² + (a1+3r)² +...+(a1+99r)² 
Desarrollando nos da 
Sp = a1² + (a1²+2a1r+r²) + (a1²+4a1r+4r²) + (a1²+6a1r+9r²)+... 
Sp = 100a1² + (2a1r+4a1r+6a1r+8a1r+...) + r (1+4+9+16) 
Se observa que el primer término corresponde a la suma de 100 veces a1², o sea: 
S1 = 100 . -2,98 = - 298 
y el segundo grupo entre paréntesis es igual a una progresión aritmética con el 1º término b1, igual a 2a1r, o sea 
b1 = 2 (-2,98) 0,06 = - 0,3576 
siendo igual a la razón r1, y por tanto también se tiene 
r1 = - 0,3576 
Entonces aplicando la fórmula de la suma S2 = n1/2 (b1 + bn), tenemos 
S2 = 99/2 [- 0,3576 + (- 0,3576 + 98 . - 0,3576)] 
S2 = 49,5 [- 0,3576 + (- 0,3576 - 35,0448)] 
S2 = 49,5 [- 0,3576 - 0,3576 - 35,0448] 
S2 = 49,5 .- 35,76 
S2 = 1770,12 
Y por último escluyendo el factor común r² en el tercer término entre paréntesis queda la serie de los cuadrados de los números naturales hasta el número 99, cuya suma viene dada por la fórmula 
∑ = n/6 (n+1) (2n+1) 
Y que reemplazando nos deja 
∑ = 99/6 (99+1) (2 . 99 + 1) 
∑ = 16,5 . 100 . 199 = 328.350 
Luego la última suma S3, nos da 
S3 = r² 328.350 = 1182,06 
Luego la suma total St = S1 + S2 + S3, queda 
St = - 298 +1770,12 + 1182,06 
St = 2654,18 

Saludos.