Question

resuelve
b) 3 tan × = 2 cos ×​

Answer 1

Respuesta:

x = (30+360k)° para el primer cuadrante

x =  (330+360k)° para el cuarto cuadrante

siendo k la representación de cualquier número entero

Explicación paso a paso:

3 tanx = 2cosx

La tanx se puede expresar como senx/cosx, entonces:

3senx/cosx = 2cosx

3senx = 2cos²x

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

9sen²x = $4cos^4x$

Partiendo de la expresión

sen²x + cos²x = 1

Despejando el sen²x:

sen²x = 1-cos²x

Reemplazando:

9(1-cos²x) = $4cos^4x$

9-9cos²x = $4cos^4x$

$4cos^4x+9cos^2x-9=0$

Realizando el cambio de variable a = cos²x

4a²+9a-9 = 0

Resolviendo la ecuación aplicando la fórmula general:

a = -9+-√81-4(4)(-9)/2(4)

a = -9+-√225/8

a1 = (-9+15)/8 = 6/8 = 3/4

a2 = (-9-15)/8 = -24/8 = -3

Tomaremos la respuesta positiva para continuar con el desarrollo, ya que no está definida la raíz cuadrada de un número negativo, entonces:

3/4 = cos²x

√3/2 = cosx

x = 30°

Sin embargo, esta no es la única solución ya que es necesario considerar que el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante del plano cartesiano.

Por tanto, las soluciones quedarían expresadas de la siguiente manera:

x = (30+360k)° para el primer cuadrante

x =  (330+360k)° para el cuarto cuadrante

siendo k la representación de cualquier número entero

Cordial saludo