Question

llevo horas intentando resolver este límite indeterminado,pero no puedo, es posible que no tenga respuesta este límite ???​

Answer 1

Hola, aqui va la respuesta

                    Limites algebraicos

Sin entrar en demasiadas precisiones, podemos definir a un limite de la siguiente manera:

"Sea f(x) una funcion definida cuando "x" esta cerca de a. Entonces escribiremos:

               Lim  f(x) = L

                x⇒a

Si hacemos que los valores de f(x) esten tan cercanos a L como se quiera, tomando valores de "x" cercanos a "a" pero no iguales

Como el "2" no forma parte del dominio de la funcion, no podemos evalúarlo, verifiquemos primero si el limite existe

Para que eso ocurra debe pasar que:

$\lim_{x \to 2^{+} } ( \frac{x^{2}+7x+10 }{x-2})= \lim_{x \to 2^{-} } ( \frac{x^{2}+7x+10 }{x-2})$  

Es decir, deben coincidir los limites laterales, veamos:

$\lim_{x\to 2^{+} } ( \frac{x^{2}+7x+10 }{x-2})= \lim_{x \to 2^{+} } (x^{2} +7x+10*\frac{1}{x-2})$

Por propiedad del limite de un producto:

$\lim_{x \to a} [f(x) * g(x)]= \lim_{x \to a} f(x) * \lim_{x \to a} g(x)$  

Nos queda:

$\lim_{x \to 2^{+} } (x^{2} +7x+10) * \lim_{x \to 2^{+} } (\frac{1}{x-2} )$

Resolviendo:

$\lim_{x \to 2^{+} } x^{2} +7x+10= (2)^{2} +7(2)+10= 28$

$\lim_{x\to 2^{+} } (\frac{1}{x-2} )=$ ∞

Es infinito ya que como nos acercamos a "x" por derecha, le vamos dando valores muy cercanos a 2, ej: 2,01 ; 2,001 y etc,   si analizamos, este se va agrandando pero no llega a nada (se dice que es divergente)

Tenemos

28×∞= ∞

Análogamente:

$\lim_{x\to 2^{-} } \frac{x^{2}+7x+10 }{x-2}= \lim_{x \to 2^{-} } (x^{2} +7x+10)*\frac{1}{x-2}$

$\lim_{x \to 2^{-} }(x^{2} +7x+10) * \lim_{x\to 2^{-} } (\frac{1}{x-2} )$

$\lim_{x \to 2^{-} } (x^{2} +7x+10)= (2)^{2} +7(2)+10= 28$

$\lim_{x\to 2^{-} } \frac{1}{x-2} =$ -∞

Es "menos infinito) porque si tomamos valores cercanos a 2 por izquierda, ej: 1,9 ; 1,99 , etc,  se va haciendo un numero negativo cada vez mas grande

Entonces:

28*(-∞)= -∞

Los limites laterales no coinciden, por lo tanto el limite no existe

Saludoss