Question

Sea la recta L:⎧⎩⎨⎪⎪x=−12+4ty=3−4tz=5−5t una recta contenida en el plano P1:5x−4y+az+b=0. Determine el valor de R=a−b5

Answer 1

Respuesta:

0

Explicación paso a paso:

Answer 2

Si se tiene la recta $L:\left\{\begin{array}{lcl} x & = & -12+4t \\ y & = &3-4t \\ z & = & 5-5t\end{array}\right$ contenida en el plano    $\pi :5x-4y+az+b=0$, el valor de R=a-b/5 es 0.

¿Cómo se despejan incógnitas de las ecuaciones geométricas?

Como podemos notar la recta está expresada en forma de ecuaciones paramétricas.

El vector director de la recta es $\overrightarrow V_1=(4,-4,-5)$, y el punto contenido en ella es $P(-12,3,5)$.

El plano, a su vez, está expresado en su ecuación general.

El vector normal del plano es $\overrightarrow N=(5,-4,a)$.

Si una recta está contenida en un plano, entonces existe una condición de perpendicularidad entre el vector director de la recta y el vector normal del plano.

Es decir:

$\overrightarrow N=(5,-4,a) \bot \overrightarrow V_1=(4,-4,-5)$

Entonces el producto escalar de ambos vectores es igual a 0:

$(4,-4,-5)\cdot (5,-4,a)=0\\4\cdot5+(-4\cdot-4)+(-5\cdot a)=0\\20+16-5\cdot a =0\\a=36/5$

Para hallar el valor de b, es necesario introducir los valores del punto contenido en la recta, a su vez contenido en el plano, en la ecuación general del plano con el valor hallado de a:

$\pi :5x-4y+\frac{36z}{5} +b=0\\5(-12)-4(3)+\frac{36(5)}{5} +b=0\\-60-12+36+b=0\\b=36$

Por lo tanto, el valor $R=a-b/5$ es:

$R=36/5-36/5=0$

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