Respuestas
Respuesta:
Hallar las ecuaciones de las medianas y el baricentro del triángulo de vértices:
A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).
ecuaciones de las medianas
Conocimientos necesarios:
Si tengo dos puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2), las coordenadas del punto medio están dadas por:
\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
Si tenemos una recta que pasa por los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2), su ecuación es:
\displaystyle \frac{y -y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}
Obtener las coordenadas del baricentro, dadas las coordenadas del triángulo (fórmula de la sección anterior)
Ecuación de la mediana que pasa por A y el punto medio de BC
En primer lugar hallamos el punto medio de BC:
\displaystyle M_{BC}\left(\frac{0-3}{2},\frac{1-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{BC}\left(\frac{-3}{2},\frac{-1}{2}\right)
Como dicha mediana pasa por los puntos A(2,0) y M_{BC}, usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos
\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}
sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos
\displaystyle \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-2}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-\frac{4}{2}}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{-\frac{7}{2}}=\frac{y}{-\frac{1}{2}}
Como tenemos división de fracciones lo anterior es equivalente a
\displaystyle -\frac{2(x-2)}{7}=-\frac{2y}{1}
Dividimos entre -2 toda la ecuación
\displaystyle \frac{x-2}{7}=y
Multiplicamos por 7 y despejamos
\displaystyle x-2=7y
x-7y-2=0
Ecuación de la mediana que pasa por B y el punto medio de AC
De manera análoga, hallamos el punto medio de AC
\displaystyle M_{AC}\left(\frac{2-3}{2},\frac{0-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AC}\left(\frac{-1}{2},-1\right)
La mediana pasa por los puntos B(0,1) y M_{AC}, así que usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos
\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}
sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos
\displaystyle \frac{x-0}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-1-1} \hspace{2cm} \frac{x}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-2}
Como tenemos división de fracciones, lo anterior es equivalente a
\displaystyle \frac{2x}{-1}=\frac{y-1}{-2} \hspace{2cm} -2x=\frac{y-1}{-2}
Multiplicamos la ecuación por -2 para deshacernos de la fracción, y finalmente despejamos
\displaystyle (-2)(-2x)=y-1
\displaystyle 4x=y-1
4x-y+1=0
Ecuación de la mediana que pasa por C y el punto medio de AB
El punto medio de AB está dado por
\displaystyle M_{AB}\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+1}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AB}\left(1,\frac{1}{2}\right)
La mediana pasa por los puntos \displaystyle C(-3,-2) y M_{AB}, así que usamos la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos
\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}
sustituimos con los datos de las coordenadas que tenemos y desarrollamos
\displaystyle \frac{x+3}{1+3}=\frac{y+2}{\frac{1}{2}+2} \hspace{2cm} \frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{\frac{5}{2}}
Como tenemos división de fracciones, lo anterior es equivalente a
\displaystyle \frac{x+3}{4}=\frac{2(y+2)}{5}
Los términos de la izquierda están divididos por 4, lo paso del otro lado multiplicando, y de manera similar con el denominador de la derecha
\displaystyle 5(x+3)=4\times 2(y+2)
\displaystyle 5(x+3)=8(y+2)
\displaystyle 5x+15=8y+16
Despejamos
5x-8y-1=0
Baricentro
Dados las coordenadas de los 3 puntos de un triángulo, la fórmulas de las coordenadas del baricentro está dada por
\displaystyle G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)
Sustituimos con los datos de los puntos del triángulo: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2)
\displaystyle G\left(\frac{2+0-3}{3},\frac{0+1-2}{3}\right)
Simplificamos
\displaystyle G\left(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3}\right)
¿Necesitas un profesor de M
Explicación paso a paso:
ahi tienes la repuesta y ejemplos y dame corona