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Examinaremos ahora, el movimiento de un cohete que es lanzado verticalmente desde la superficie de la Tierra. Supondremos que se trata de un cohete pequeño, que alcanza una altura limitada. Podemos considerar que la intensidad de la gravedad g es aproximadamente constante e igual a 9.8 m/s2.
Analizaremos las dos etapas en el movimiento del cohete:
Desde que se lanza hasta que agota el combustible
Desde el momento en el que agota el combustible, hasta que alcanza la máxima altura.
Fundamentos físicos
Consideremos un cohete que en el instante t, tiene una masa m que lleva una velocidad v respecto a un Sistema de Referencia Inercial (por ejemplo, la Tierra).
En el instante t+Δt, una masa Δμ de combustible se expulsa con una velocidad constante –u relativa al cohete, como consecuencia la velocidad de la masa restante (m-Δμ) del cohete se incrementa en v+Δv.
En el instante t, el cohete de masa m lleva una velocidad v. El momento lineal es
p(t)=mv
En el instante t+Δt
El cohete tiene una masa m-Δμ, su velocidad es v+Δv.
La masa expulsada Δμ lleva una velocidad –u respecto del cohete o una velocidad –u+ v, respecto de Tierra
El momento lineal en este instante es
p(t+Δt)=(m-Δμ)(v+Δv)+ Δμ(–u+ v+Δv)
El cambio de momento lineal entre los instantes t y t+Δt es
Δp= p(t+Δt)- p(t)=m·Δv- u·Δμ-Δμ·Δv
En el límite cuando Δt→0
El cambio de momento lineal se debe a la acción de las fuerzas exteriores al sistema (la fuerza de atracción gravitatoria, que apunta en sentido contrario al momento lineal).
Por otra parte, la masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible expulsado μ es constante M=μ+m, por lo que dμ+dm=0. La masa del cohete disminuye en dm y aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad.
La ecuación del movimiento del cohete se escribe
Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=-dm/dt. La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m0-D·t. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y D·t es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.
Un cohete puede considerarse una partícula de masa variable m sometida a dos fuerzas de la misma dirección pero de sentidos contrarios: el empuje de los gases uD y el peso mg.
Como caso particular, mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, y sobre el cohete actuaría únicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsión de los gases al quemarse el combustible.
La ecuación anterior la podemos escribir
Que se puede integrar de forma inmediata
obteniéndose la expresión de la velocidad en función del tiempo
Volviendo a integrar
Se obtiene la posición x del móvil en cualquier instante t.
Ejemplos
El empuje es mayor que peso
Combustible total en el cohete, 1.0 kg
Carga útil que transporta, 2.0 kg
Combustible quemado por segundo, D=0.1 kg/s
Velocidad de salida de los gases u0=1000 m/s
Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible
Fuerzas sobre el cohete
Masa total del cohete=carga útil+combustible
m0=2.0+1.0=3.0 kg
El peso del cohete m0·g (29.4 N) es menor que el empuje u·D (100 N)
Tiempo que tarda en agotarse el combustible
Como hay 1.0 kg de combustible que se queman a razón de 0.1 kg/s. Luego, el combustible se agota en el instante t0= 10 s.
Velocidad máxima alcanzada por el cohete
Altura que alcanza hasta que se agota el combustible
Una vez que ha agotado el combustible, el cohete prosigue su movimiento hasta que alcanza la máxima altura. Las ecuaciones del movimiento son
Donde x0, v0 es la posición, velocidad del cohete en el instante t0 en el que se ha agotado el combustible.
La altura máxima se alcanza cuando v=0, en el instante t=41.4 s. La posición del cohete en dicho instante es x=6223 m.
El empuje es menor que peso
Combustible total en el cohete, 2.0 kg
Carga útil que transporta, 9.0 kg
Combustible quemado por segundo, D=0.1 kg/s
Velocidad de salida de los gases u0=1000 m/s