Question

PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la
función:
$f(x) = 2{x}^{3} - \frac{2}{3}x \: + \: 4$
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Answer 1

Respuesta: En  x = 1/3 existe un mínimo. El punto es (1/3, 104/27)

                   En  x = -1/3 existe un máximo. El punto es  (-1/3, 112/27)

                   En  x = 0  hay un punto de inflexión. El punto es (0 , 4).

Explicación:

*  Para calcular los máximos y mínimos , primero se deriva la función y se iguala a cero:

f(x) = 2x³ - (2/3)x + 4  ⇒ f'(x) = 6x² - (2/3).  Al igualar a cero, resulta:

6x² - (2/3)  = 0

6x²  = 2/3

 x²  = [2/3] / 6

 x²  = 1/9

 x  = √(1/9)

 x  = 1/3  ó  x  = -1/3

Ahora se calcula la segunda derivada de f.

f" (x) = 12x . Por tanto, f"(1/3)  = 12 (1/3)  = 4 > 0

Como f"(1/3) > 0, entonces en  x = 1/3 existe un mínimo.

Además, f"(-1/3)  = 12 (-1/3) = -4  < 0

Como f"(-1/3)  < 0, entonces en  x = -1/3 existe un máximo.

** Un punto de inflexión x  es aquel en el cual f"(x) = 0 ó no está definida.

⇒ f"(x) = 12x  = 0  ⇒  x = 0. Cuando x = 0 , f(0) = y = 4

Por tanto, en el punto (0, 4) hay un punto de inflexión.