Question

Alguien me ayuda con estas dos Integrales trigonométricas
Sen x/cos^2 x

Cos x / sen^2 x

Answer 1

Para la primer aintegral,

$\int\limits { \frac{sin(x)}{ cos^{2}(x) } } \, dx$

podemos resolverla por sustitución, para eso consideramos,

$u=cos(x)$

derivamos,

$du=-sin(x)dx$

despejamos el diferencial de equis,

$dx=- \frac{du}{sin(x)}$

reemplazamos en la integral,

$\int\limits { \frac{sin(x)}{ u^{2} } } \, (- \frac{du}{sin(x)} )$

simpllficamos,

$\int\limits { -\frac{1}{ u^{2} } } \, du=- \int\limits { \frac{1}{ u^{2} } } \, du$

podemos reescribir ésta integral usando el álgebra, así,,

$- \int\limits { \frac{1}{ u^{2} } } \, du=- \int\limits { u^{-2} } \, du$

y ésta integral, aplicamos la integral directa,

$\int\limits { x^{n} } \, dx = \frac{ x^{n+1} }{n+1} +C$

entonces nos queda,

$- \int\limits { u^{-2} } \, du=-( \frac{ u^{-2+1} }{-2+1} )+C \\ \\ -( \frac{ u^{-1} }{-1} )+C= u^{-1} +C \\ \\ \frac{1}{u} +C$

ahora volvemos a la variable original,

$\frac{1}{cos(x)} +C$

para la sisguiente interal tenemos,

$\int\limits { \frac{cos(x)}{sin ^{2}(x) } } \, dx$

nuevamente, podemos sustituir, para eso consideremos,

$u=sin(x)$

derivamos,

$du=cos(x)dx$

despejamos el diferencial de equis.

$dx= \frac{du}{cos(x)}$

reemplazamos en la integral,

$\int\limits { \frac{cos(x)}{ u^{2} (x)} } \, ( \frac{du}{cos(x)} )$

simplificamos,

$\int\limits { \frac{1}{ u^{2} } } \, du= \int\limits{ u^{-2} } \, du$

aplicas la misma integral directa,

$\int\limits{ u^{-2} } \, du= \frac{ u^{-1} }{-1} +C \\ \\ \int\limits{ u^{-2} } \, du=- u^{-1} +C=- \frac{1}{u} +C$

y finalmente cambiamos de nuevo a la varible original,

$- \frac{1}{sin(x)} +C$

Answer 2

∫senx/cos^2x dx
tanx = senx/cosx
1/cosx = secx
senx/cos^2x = (senx/cosx)*(1/cosx) = tanx*secx
∫senx/cos^2x dx = ∫tanx*secx dx = secx + C

∫cosx/sen^2x dx
cotx = cosx/senx
1/senx = cscx
cosx/sen^2x = (cosx/senx)*(1/senx) = cotx*cscx
∫cosx/sen^2x dx = ∫cotx*cscx dx = -cscx + C