Question

Se tienen dos conjuntos A y B tales que : n(AUB) = 16 ; n(A-B) = 5 ; n(B-A) = 8 Hallar n(A) + n(B)

Answer 1

Respuesta:

19

Explicación paso a paso:

Lo primero es tener claras las siguientes igualdades:

$A.\hspace{3mm} n(A\cup B) = n(A) + n(B) -n(A\cap B)\\B.\hspace{3mm} n(A-B) = n(A)-n(A\cap B) \\C.\hspace{3mm} n(B-A) = n(B)-n(A\cap B)$

Así podemos reescribir los datos de la siguiente manera:

$n(A) + n(B) -n(A\cap B)\hspace{1mm}=16\\n(A)-n(A\cap B) = 5\\n(B)-n(A\cap B) = 8$

Y lo podemos resolver como un sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{c}n(A) + n(B) -n(A\cap B)\hspace{1mm}=16\\n(A)\hspace{11mm}-n(A\cap B) \hspace{1mm}= 5\\\hspace*{11mm}n(B)-n(A\cap B) \hspace{1mm}= 8\end{array}$

Multiplicamos la 1ª fila por 2.

Y sumamos 2ª + 3ª

$\left\{ \begin{array}{c}2n(A) + 2n(B) -2n(A\cap B)\hspace{1mm}=32\hspace{3mm}\longleftarrow\text{multiplicamos por 2}\\n(A)\hspace{16mm}-n(A\cap B) \hspace{3mm}= 5\hspace{40mm}.\\n(A)\hspace{2mm}+\hspace{2mm}n(B)-2n(A\cap B) \hspace{2mm}= 13\hspace{3mm}\longleftarrow \hspace{2mm}\text{sumamos F_2 + F_3 }\end{array}$

Y restamos 1ª fila menos 3ª:

$- \begin{array}{c}2n(A) + 2n(B) -2n(A\cap B)\hspace{1mm}=32\\n(A)\hspace{2mm}+\hspace{2mm}n(B)-2n(A\cap B) \hspace{1mm}= 13\\-----------------\\n(A) \hspace{2mm}+\hspace{2mm}n(B) \hspace{22mm}=19\end{array}$Que es lo que buscamos

________________

El sistema se puede resolver de otras maneras, esta es la que me ha parecido más interesante.