Question

Al Resolver la ecuación diferencial dy/sen(x-y+1)=dx; si y(0)=π-1, el valor de la constante c corresponde a:
1. -1
2. 0
3. 1
4. 2

Answer 1

Sea $x-y=u-1$ y $x+y=v+1$ entonces

            $x=\dfrac{u+v}{2}$   y   $y=\dfrac{v-u+2}{2}$

Así la ecuación se transforma en 
  
  $\dfrac{d\left(\frac{v-u+2}{2}\right)}{\sin u}=d\left(\dfrac{u+v}{2}\right)\\ \\ \\ \text{Desarrollando}\\ \\ \\ \dfrac{dv-du}{\sin u}=du+dv\\ \\ \\ dv-du=(du+dv)\sin u\\ \\ \\ (1-\sin u )\,dv=(1+\sin u)\, du\\ \\ \\ dv=\dfrac{1+\sin u}{1-\sin u}\, du\\ \\ \\ \displaystyle v=\int \dfrac{1+\sin u}{1-\sin u}\, du \\ \\ \\ v=2\tan\left(\dfrac{u}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)-u+C$

  $x+y-1=2\tan\left(\dfrac{x-y+1}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)-x+y-1+C \\ \\ \\ x=\tan\left(\dfrac{x-y+1}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)+C'\\ \\ \\ \text{Reemplazando valores:}\\ \\ 0=\tan\left(\dfrac{0-\pi+1+1}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)+C'\\ \\ \\ 0=\tan\left(\dfrac{4-\pi}{4}\right)+C'\\ \\ \\ C'=\tan\left(\dfrac{\pi-4}{4}\right)\\ \\ \\ \text{Soluci\'on de la EDO}\\ \\ \\ x=\tan\left(\dfrac{x-y+1}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)+\tan\left(\dfrac{\pi-4}{4}\right)$