Question

regla que representa a cada sucesion con el metodo de diferencias comprueba los terminos y operaciones 4,14,30,52,80

Answer 1

Respuesta:

${a_n =3n^2 +n}$

Explicación paso a paso:

La fórmula general para la sucesión es la siguiente:

$a_n = \left(\begin{array}{c}n-1\\0\end{array}\right) a_1+ \left(\begin{array}{c}n-1\\1\end{array}\right)\Delta a_1+ \left(\begin{array}{c}n-1\\2\end{array}\right)\Delta^2 a_1+ \cdots +\left(\begin{array}{c}n-1\\n-1\end{array}\right)\Delta^{n-1} a_1$

Esto significa que tenemos que calcular sucesiones de diferencias hasta que salga una constante.

$a_n=4,14,30,52,80$

$\Delta a_n = 10, 16, 22, 28 \longleftarrow \text{Calculamos la primera sucesion de diferencias}$

$\Delta^{2} a_n = 6, 6, 6, 6\longleftarrow \text{Calculamos la segunda y vemos que ya es constante}$

Esto se hace restando a cada término el anterior. Hacemos esto hasta que tengamos una sucesión constante.

En este caso hemos llegado en 2 pasos, por lo que solo tenemos que llegar hasta $\Delta^2a_1$ en la fórmula de arriba. Esto significa que para este ejercicio concreto:

$a_n = \left(\begin{array}{c}n-1\\0\end{array}\right) a_1+ \left(\begin{array}{c}n-1\\1\end{array}\right)\Delta a_1+ \left(\begin{array}{c}n-1\\2\end{array}\right)\Delta^2 a_1$

Nos fijamos ahora en los primeros elementos de cada sucesión  y calculamos los números combinatorios correspondientes:

$\begin{array}{c}a_1 =4\\\Delta a_1 = 10\\\Delta^2 a_1 = 6\end{array} \hspace{4mm}\left(\begin{array}{c}n-1\\0\end{array}\right) = 1 \hspace{4mm} \left(\begin{array}{c}n-1\\1\end{array}\right) = (n-1) \hspace{4mm} \left(\begin{array}{c}n-1\\2\end{array}\right) = \dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$

Lo juntamos todo:

$a_n =\hspace{5mm}1\cdot4\hspace{5mm}+\hspace{5mm}(n-1)\cdot10\hspace{5mm}+\hspace{5mm}\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}\cdot6$

Y lo apañamos un poquito:

$a_n =\hspace{5mm}4\hspace{5mm}+\hspace{5mm}10n-10\hspace{5mm} + \hspace{5mm}(n^2-3n+2)\cdot3 =\\\hspace*{4mm}=\hspace{5mm}4\hspace{5mm}+\hspace{5mm}10n-10\hspace{5mm}+\hspace{5mm}3n^2-9n+6=\\\hspace*{4mm}=\hspace{5mm}3n^2+n$

Llegando así a la solución final:

$a_n =3n^2 +n$