Question

una torre inclinada 10 grados respecto a la vertical , esta sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el angulo del cable es de 25 grados, calcula la longitud del cable y la altura de la torre

Answer 1

La longitud del cable es de aproximadamente 15.29 metros

La altura de la torre inclinada es de aproximadamente 6.56  metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura de la torre inclinada, el lado BC (a) que equivale a la distancia desde determinado punto en el suelo donde se encuentra la parte inferior del cable de sujeción hasta la base de la torre y el lado AB (c) que es la longitud del cable de sujeción desde ese punto en el suelo hasta la parte superior de la torre. Donde el cable forma un ángulo de 25° con el plano del suelo   

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Hallando el valor del ángulo C (γ)  - Para conocer la inclinación de la torre

Sucede que la torre al alejarse de la vertical se inclina 10° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical, es decir se inclina hacia el plano del suelo

Vamos a calcular la inclinación de la torre

Si la torre no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este ejercicio al inclinarse la torre en el sentido horario debemos restar la inclinación de 10° dada con respecto a la línea vertical de 90°

Denotamos al ángulo C como γ

$\large\boxed {\bold { \gamma= 90^o -\ 10^o = 80^o }}$

El ángulo C ( γ ) mide 80° grados

Al ángulo del cable de de 25° dado por enunciado lo denotaremos como β

Si

$\large\boxed {\bold { \beta = 25^o }}$

Hallando el valor del ángulo A (α)    

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo y hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 80^o+ 25^o+ \alpha }}$

$\boxed {\bold {\alpha = 180^o - 80^o- 25^o }}$

$\large\boxed {\bold {\alpha = 75^o }}$

El valor del ángulo A (α) es de 75°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos la longitud del cable

Hallando el valor del lado c

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{15 \ metros}{ sen(75 )^o } = \frac{ c }{sen(80)^o } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 15 \ metros \ . \ sen(80 )^o }{sen(75)^o } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 15 \ metros \ . \ 0.9848077530122 }{0.9659258262890 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 14.772116295183 \ metros }{0.9659258262890 } }}$

$\boxed { \bold { c \approx 15.29322 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { c \approx 15.29 \ metros }}$

La longitud del cable es de aproximadamente 15.29 metros

Calculando la altura de la torre inclinada

Hallando el valor del lado b

$\boxed { \bold { \frac{a}{sen(\alpha )}= \frac{b}{ sen(\beta ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{sen(A)} = \frac{b}{ sen(B ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{15 \ metros}{ sen(75 )^o } = \frac{ b }{sen(25)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 15 \ metros \ . \ sen(25 )^o }{sen(75)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 15 \ metros \ . \ 0.4226182617406 }{0.9659258262890 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 6.392739261104 \ metros }{0.9659258262890 } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 6.5628 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 6.56 \ metros }}$

La altura de la torre inclinada es de aproximadamente 6.56  metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas