Question

Porque no existe un numero racional cuyo cuadrado sea 12.

Answer 1

Para demostrarlo, tienes que asumir primero que sí hay un número racional que cumpla con: 

(p/q)² = 2 

Siendo "p" y "q" número enteros. Si llegas a una contradicción, entonces con ello se termina la demostración, ¿de acuerdo? 

Si te fijas bien, estamos diciendo pues que existe una fracción con los números "p" y "q" tales que: 

(p/q) = √2 

En matemáticas es bien conocido que √2 es irracional, y con ello la demostración terminó ya que se ha llegado a una contradicción pues acabamos de suponer que p/q si existe. Pero vamos a demostrar porqué √2 es irracional. 

Vamos a usar otro par de números distintos a "p" y "q". Sean "a" y "b" dos números enteros tales que: 

(a/b) = √2 

Al hacer ésto estamos suponiendo que √2 es racional, pues lo estamos expresando como el resultado de una fracción de 2 números enteros distintos y que ya no deben tener factores comunes entre si. De otro modo, la fracción se podría simplificar aún más y encontrarías números menores a "a" y a "b", llegando con ello al mismo problema. La fracción debe ser, pues, irreducible. 

Si despejamos "a" y elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, estamos diciendo pues que: 

a² = 2b² 

A todas luces se aprecia que a² es un número par (es el producto de 2 por otro número), por lo que "a" también lo es. 

(La demostración de que "a" es par sabiendo que a² es par, es sencilla, pues solamente debes recordar que hay 2 maneras de obtener un número par cuando multiplicas 2 enteros: 

(par)(par) = par 
(impar)(par) = par 

Al menos uno de los factores debe ser par, ¿verdad?.Pero resulta que a² = a·a, el producto del mismo número por sí mismo, y como uno debe ser par, entonces también el otro lo es y ésto termina la prueba de que si a² es par, también lo es "a") 

Bueno, como "a" es un número par, entonces se puede decir que a = 2k para cualquier número entero "k", ¿de acuerdo? Sustituyamos ésto en la expresión anterior: 

(2k)² = 2b² = 4k² 
b² = 2k² 

De aquí se desprende que b² es también un número par, o sea que "b" es número par. 

Resulta que "a" y "b" son números pares, pero ésto es imposible porque se supone que "a" y "b" NO deben tener factores comunes (el cual aquí es 2), así que haber supuesto que √2 era racional fué una equivocación, por lo que √2 es irracional y con ello se demuestra la veracidad de que (p/q)² ≠ 2 para "p" y "q" enteros.