Question

Hallar la ecuación de la elipse si se conoce las siguientes características directrices y= 11/5 , y= -
61/5 eje mayor sobre x=3 , e= 5/6

Answer 1

La ecuación canónica de la elipse es

$\bold{\dfrac{(y~+~5)^2}{36}~+~\dfrac{(x~-~3)^2}{11}~=~1}$

y la ecuación general es

36x²  +  11y²  -  216x  +  110y  +  203  =  0

Explicación:

La ecuación canónica de una elipse de eje mayor vertical viene dada por la expresión:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~+~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}$

donde

(h, k)    punto centro de la elipse

a    distancia desde el centro al vértice sobre el eje mayor

b    distancia desde el centro al vértice sobre el eje menor

Además sabemos que la relación de distancias en la elipse es

a²  =  b²  +  c²

siendo    c    la distancia desde el centro al foco

Tenemos otros dos datos:

Directrices:  son dos rectas perpendiculares al eje mayor que pasan a igual distancia (d) desde el centro de la elipse, a ambos lados de este.  La distancia  d  se calcula por la razón  a/e.

Excentricidad: es una medida de forma de la elipse y se calcula por la razón  c/a.

En el caso estudio, vamos a hallar el centro conociendo que su coordenada  x  es  h  =  3,  ya que el eje mayor está sobre  x  =  3, y que la coordenada  y  es el punto medio entre las directrices:

k  =  [11/5  +  (-61/5)]/2  =  -5

Centro  =  (3,  -5)

Calculemos las distancias  a,  b,  c,  d

d    es la distancia del centro a la directriz, entonces calculamos la distancia que hay desde  y  =  -5  hasta  y  =  11/5  o hasta  y  =  -61/5.  De aquí   d  =  36/5

d  =  a/e    por tanto   a  =  d*e  =  (36/5)*(5/6)  =  6

e  =  c/a    por tanto    c  =  a*e  =  (6)*(5/6)  =  5

a²  =  b²  +  c²        por tanto    (6)²  =  b²  +  (5)²    de aquí

b²  =  36  -  25  =  11    o sea que    b  =  √11

Entonces estamos listos para sustituir los valores en la ecuación canónica

$\dfrac{[y~-~(-5)]^2}{(6)^2}~+~\dfrac{[x~-~(3)]^2}{(\sqrt{11})^2}~=~1$

$\bold{\dfrac{(y~+~5)^2}{36}~+~\dfrac{(x~-~3)^2}{11}~=~1}$

Se desarrollan los productos notables y se iguala a cero para hallar la ecuación general de la elipse:

36x²  +  11y²  -  216x  +  110y  +  203  =  0

En conclusión:

La ecuación canónica de la elipse es

$\bold{\dfrac{(y~+~5)^2}{36}~+~\dfrac{(x~-~3)^2}{11}~=~1}$

y la ecuación general es

36x²  +  11y²  -  216x  +  110y  +  203  =  0