Question

Ejercicio 4:

Un cuerpo describe un movimiento cuya aceleración en función del tiempo está dada por

a(t) = −2.4/ cos(2). Para t=0s la velocidad y posición del objeto son respectivamente

v=0m/s y x=0.6m. Recuerde que: () =/ = d^2x/^2

Answer 1

La velocidad del cuerpo esta dada por V(t) = -1.2sen(2t) , luego la posición estará dada por r(t) = 0.6*cos(2t)

La aceleración es igual a:

a(t) = -2.4*cos(2t)

V(0) = 0 m/s

r(o) = 0.6 m/s

La velocidad: la obtenemos integrando la aceleración:

V(t) = -2.4*sen(2t)/2 + V(0)

V(t) = -1.2*sen(2t) + 0 m/s

V(t) = -1.2sen(2t)

La posición la obtenemos integrando la velocidad

r(t) = -1.2*(-cos(2t)/2) + r(0)

r(t) = 0.6*cos(2t)

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Answer 2

Tenemos que:

$a(t) = -2.4\cos(2t)$

Y sabemos que la velocidad es la derivada de la aceleración por tanto, para hallar la velocidad, integramos la aceleración:

$v(t)=\int -2.4cos\left(2t\right)dt$

$v(t) = \int a(t)dt$

$v(t)=-2.4\int \:cos\left(2t\right)dt$

Aplicamos la sustitución u = 2t por tanto dt = du/2:

$v(t)=-2.4\cdot \int \cos \left(u\right)\frac{1}{2}du$

$v(t) = -2.4\cdot \frac{1}{2}\sin u + C$

$v(t) = -1.2\sin \left(2t\right) +C$

Hallamos la constante C evaluando en los parámetros sabiendo que v(0)=0:

$v(0) = -1.2\sin \left(2(0)\right) +C$

$0 = -1.2\sin \left(2(0)\right) +C$

$C = 0$

Por tanto la velocidad queda:

$\boxed{v(t) = -1.2\sin \left(2t\right)}$

Procedemos de igual manera para la posición:

$x(t) = \int v(t) dt$

$x(t) = \int \:-1.2\sin \left(2t\right)dt$

$x(t) = -1.2\cdot \int \sin \left(2t\right)dt$

Nuevamente aplicamos la sustitución u = 2t por tanto dt = du/2:

$x(t)=-1.2\cdot \int \sin \left(u\right)\frac{1}{2}du$

$x(t) = -1.2\cdot \frac{1}{2}\cdot \int \sin \left(u\right)du$

$x(t) =-0.6\left(-\cos \left(u\right)\right) + C$

$x(t) = 0.6\cos \left(2t\right)+C$

Hallamos la constante C evaluando en los parámetros sabiendo que x(0)=0.6:

$x(0) = 0.6\cos \left(2(0)\right)+C$

$0.6 = 0.6\cos \left(2(0)\right)+C$

$0.6 = 0.6 + C$

$C = 0$

Por tanto la posición queda:

$\boxed{x(t) = 0.6\cos \left(2t\right)}$

Determinamos la posición para t = 2 s:

$x(2) = 0.6\cos \left(2(2)\right)$

$x(2) = 0.6\cos \left(4\right)$

$\boxed{x(2) =-0.3922\ m}$

La comprobación en Geogebra se adjunta como imagen. Se calcularon las funciones de velocidad y desplazamiento por integración y se obtuvo y representó su valor para t=2 s.