Question

Ejercicio con funciones y límites, ayuda urgente

Answer 1

Hola, aqui va la respuesta

               Limites y Funciones

"Una funcion es una regla que asigna a cada elemento del conjunto de partida, un solo elemento del conjunto de llegada"

• El conjunto de partida tambien es llamado dominio

• El conjunto de llegada tambien es llamado contradominio

Veamos que es un limite sin entrar en muchas precisiones

"Sea f(x) una funcion definida cuando "x" esta cerca de a. Entonces escribiremos:

                Lim  f(x) = L

                x⇒a

Si hacemos que los valores de f(x) esten tan cercanos a L como se quiera, tomando valores de "x" cercanos a "a" pero no iguales

Para resolver un limite hay varias maneras

Una es usando la Regla de I'Hopital, que consiste en derivar numerador y denominador

Sin embargo puede pasar que no se maneje mucho las derivadas, por lo cual lo haremos mediante metodos algebraicos

Para el ejercicio b, tendremos que usar el siguiente limite notable:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{n} } =0$

Donde:

n ∈ N

a)  Tenemos la funcion:

$f(t)= \frac{t^{2}-t+1 }{t^{2}+1 }$

Debemos ver el porcentaje del nivel de oxigeno durante ciertas semanas. Como "t" esta dado en semanas, nos sera mas facil calcularlo:

• Despues de 2 semanas:

$f(2)= \frac{2^{2} -2+1}{2^{2}+1 }$

$f(2)=\frac{3}{5}$

$f(2)= 0,6$

Para pasar a porcentaje, multiplicamos por 100

0,6 ×100%= 60%   Solución

• Despues de 6 semanas:

$f(6)= \frac{6^{2}-6+1 }{6^{2}+1 }$

$f(6)= \frac{31}{37}$

$f(6)=0,84$

0,84 × 100%= 84%  Solución

• Despues de 12 semanas:

$f(12)= \frac{12^{2}-12+1 }{12^{2}+1 }$

$f(12)= \frac{133}{145}$

$f(12)= 0,92$

0,92 ×100%= 92%   Solución

b)  Debemos calcular:

$\lim_{t\to \infty} (\frac{t^{2}-t+1 }{t^{2}+1 } )$

Vamos a realizar ciertas manipulaciones para llegar, al resultado

Dividamos el numerador y el denominador por t²

$\lim_{t\to \infty} (\frac{\frac{t^{2} }{t^{2} } -\frac{t}{t^{2} }+ \frac{1}{t^{2} } }{\frac{t^{2} }{t^{2} } +\frac{1}{t^{2} } }$

$\lim_{t \to \infty} (\frac{1-\frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{2} } }{1+\frac{1}{t^{2} } } )$

Aplicamos la propiedad del limite de un cociente, obtenemos:

$\frac{ \lim_{t \to \infty} (1-\frac{1}{t} +\frac{1}{t^{2} }) }{ \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t^{2} }) }$

Aplicando limite de una suma y resta:

$\frac{ \lim_{t\to \infty} (1) - \lim_{t \to \infty} (\frac{1}{t})+ \lim_{t \to \infty} (\frac{1}{t^{2} }) }{ \lim_{t \to \infty} (1) + \lim_{t \to \infty} (\frac{1}{t^{2} }) }$

El limite de una constante es igual a la constante misma

Usando el limite notable mencionado anteriormente, tenemos que:

$\frac{1-0+0}{1+0} = 1$

Por lo tanto:

$\lim_{t \to \infty} (\frac{t^{2}-t+1 }{t^{2} +1} )= 1$  

*Adjunto las propiedades de los limites

Saludoss