Question

En un triangulo ABC, el ángulo externo a B mide 72°. Se traza la altura de BH y sobre HC se toma un punto; además, la mediatriz de BC pasa por D, Halla mA su AH=HD

Answer 1

La medida del ángulo A es de 48°.

Explicación paso a paso:

El ángulo externo a B es el suplementario de su ángulo interno en el vértice B. Si además trazamos la altura BH, que es perpendicular al lado AC, y la mediatriz de BC, y tenemos en cuenta que AH=HD, nos queda la situación de la imagen adjunta.

En ella podemos trazar el segmento BD, y quedan los triángulos isósceles ABD y BCD. Y el ángulo ABC es:

$ABC=180\°-72\°=108\°$

Y el ángulo BAC, siendo BD y BA lados iguales es:

$BAC=\frac{180\°-ABD}{2}$

Y además es:

$ABD+DBC=108\°\\DBC=BCA=>ABD=108\°-BCA\\BAC+BCA+ABC=180\°\\BAC+BCA+108\°=180\°\\BAC+BCA=72\°$

Reeemplazamos la segunda ecuación en la del ángulo BAC y queda:

$BAC=\frac{180-(108-BCA)}{2}=\frac{72+BCA}{2}\\\\BAC+BCA=72\°=>BCA=72-BAC\\\\BAC=\frac{72+(72-BAC)}{2}\\\\2BAC=144-BAC\\\\3BAC=144\°\\\\BAC=48\°$