Question

Luis patea horizontalmente una pelota desde la terraza de un edificio a 25 m/s. Si la pelota llega al piso en 2,25 s
a) ¿Cuál es la altura de la terraza?;

b) ¿Cuál es el alcance de la pelota?;

c) ¿Con qué velocidad (módulo y dirección) llega al piso?

Answer 1

a) La altura de la terraza es de 25.31 metros

b) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$   de la pelota es de 56.25 metros

c) La pelota llega al piso con una velocidad horizontal de 25 m/s y vertical de -22.50 m/s, siendo su velocidad resultante, con la cual golpea el piso, de 33.63 m/s, con una dirección de 41.99°

Se trata de un problema de tiro o lanzamiento horizontal.  

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Inicialmente su posición es   $\bold {y_{0} = H }$

Solución

Tomamos un valor de gravedad de $\bold {10\ \frac{m}{s^{2} } }$

a ) Hallando la altura de la terraza (desde donde cayó el objeto)

$\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { H = \frac{ g \ . \ t^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } \ . \ (2.25 \ s)^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{\not s^{2} } \ . \ 5.0625 \not s^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 50.625 \ metros}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { H = 25.31 \ metros }}$

La altura de la terraza es de 25.31 metros

b) Hallamos el alcance de la pelota

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d = 25 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 2.25\not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 56.25 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 56.25 metros, siendo esta magnitud la distancia a la que cae el objeto

c) Hallamos la velocidad con la cual la pelota llega al piso

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 2.25 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\boxed {\bold { {V_x} =25 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 2.25 \not s }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =-22.50 \ \frac{m}{s} }}$

2) Hallamos la velocidad resultante del movimiento

Conociendo los valores de las velocidades horizontal y vertical para el tiempo de vuelo la velocidad final del lanzamiento se determina como la velocidad resultante de sus dos componentes en x y en y

Siendo

Velocidad horizontal

$\boxed {\bold {V_{x} =25 \ \frac{m}{s} }}$

Velocidad vertical

$\boxed {\bold {V_{y} =-22.50 \ \frac{m}{s} }}$

Por Pitágoras hallamos la velocidad resultante la cual será la velocidad final del lanzamiento con las velocidades  conocidas en x y en y

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{ ( V_{X} )^{2} + ( V_{Y} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{ \left ( 25 \ \frac{m}{s}\right )^{2} + \left ( -22.50 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{ 625 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } + 506.25 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{\bold { | V_{R \ }| = \sqrt{1131.25 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed{\bold { | V_{R \ }| = 33.63 \ \frac{m }{s} }}$

Por lo tanto

$\large\boxed{\bold { V_{f } = 33.63 \ \frac{m }{s} }}$

La magnitud de la velocidad final resultante con que la pelota cae al suelo es de 33.63 metros por segundo (m/s)

3) Hallamos la dirección con que llega al piso

Para hallar la dirección recurrimos a las razones trigonométricas usuales

Dado que conocemos la velocidad resultante y la velocidad en x tomamos la razón trigonométrica coseno con los valores conocidos

$\boxed {\bold {cos \ \alpha = \frac{ V_{x} }{V} } }$

$\boxed {\bold {cos \ \alpha = \frac{ 25 \ \not\frac{m}{s} }{33.63\ \not \frac{m}{s} } } }$

Aplicamos la inversa del coseno

$\boxed {\bold {\alpha =arccos\left( \frac{ 25 }{33.63 } \right) } }$

$\boxed {\bold { \alpha = arccos(0,74338388) } }$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 41.99^o } }$

La dirección con que la pelota llega al piso es de 41.99°