Question

un mezclador eléctrico gira con una magnitud de velocidad angular inicial de 12 radianes sobre segundos y recibe una aceleración angular con una magnitud de 6 radianes sobre segundos cuadrados durante 13 segundos, ¿qué magnitud de desplazamiento angular tuvo?​

Answer 1

El desplazamiento angular del mezclador fue de 663 radianes, dando 105.52 revoluciones para un intervalo de tiempo de 13 segundos

Solución

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

El desplazamiento de la partícula es más veloz o más lento según transcurre el tiempo.  

Si la velocidad angular aumenta, la aceleración angular será positiva, donde tendríamos un caso de movimiento circular uniformemente acelerado. Por el contrario  si la velocidad angular disminuye, la aceleración  angular será negativa, y estaríamos en presencia de un caso de movimiento circular uniformemente retardado

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante

En este ejercicio siendo la aceleración dada de valor positivo se trata de un caso de movimiento circular uniformemente acelerado.

Hallamos el desplazamiento angular θ del mezclador

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0}\ . \ t + \frac{1}{2} a\ t ^{2} }}$

Donde      

$\large\textsf{Desplazamiento angular } \ \ \ \bold { \theta }$      

$\large\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 12 \ \frac{rad}{s} }$

$\large\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha = 6\ \frac{rad}{s^{2} } }$

$\large\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t = 13 \ s }$      

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0} \ . \ t+ \frac{1}{2} \alpha \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

Tomando un tiempo de 13 segundos

$\boxed {\bold { \theta = \left(12\ \frac{rad}{s}\right) \ . \ (13 \ s )\ + \frac{1}{2} \ \left( 6 \ \frac{rad}{s^{2} } \right) \ . \ (13 \ s) ^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = 12\ \frac{rad}{\not s} \ . \ 13 \not s \ + \frac{1}{2} \ 6 \ \frac{rad}{\not s^{2} } \ . \ 169 \ \not s ^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = 156 \ rad \ + \frac{1}{2} \ 1014 \ rad }}$

$\boxed {\bold { \theta = 156 \ rad \ + \ 507\ rad }}$

$\large\boxed {\bold { \theta = 663\ rad }}$

El desplazamiento angular fue de 663 radianes, lo que significa que el mezclador giró 663 radianes para un tiempo de 13 segundos

Determinamos la cantidad de revoluciones

Convertimos los radianes hallados en el inciso anterior a revoluciones

Dado que una circunferencia equivale a 2π radianes

$\large\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = \frac{663 \ rad }{2 \ \pi } }}$

$\large\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = 105.52 }}$

Aunque el enunciado no lo pida hallamos la velocidad angular final que el mezclador alcanzó, dado que es una pregunta clásica de examen

Hallamos la velocidad angular final que alcanzó a los 13 segundos

Empleando la ecuación:

$\large\boxed{\bold{\omega=\omega_{0} \ + \ \alpha \ . \ t }}$

Donde      

$\large\textsf{Velocidad angular final } \ \ \ \bold { \omega }$

$\large\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 12 \ \frac{rad}{s} }$

$\large\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha = 6\ \frac{rad}{s^{2} } }$

$\large\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t = 13 \ s }$    

$\large\boxed{\bold{\omega=\omega_{0} \ + \ \alpha \ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

Tomando un tiempo de 13 segundos

$\boxed{\bold{\omega= 12 \ \frac{rad}{s} \ + \ \ 6\ \frac{rad}{s^{\not2} } \ . \ 13 \not s }}$

$\boxed{\bold{\omega= 12 \ \frac{rad}{s} \ + \ \ 78\ \frac{rad}{s} }}$

$\large\boxed{\bold{\omega= 90 \ \frac{rad}{s} }}$  

La velocidad angular final del mezclador para un tiempo de 13 segundos es de 90 radianes por segundo (rad/s)