Question

Hallar los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones (usando el criterio de la segunda derivada)
1.- f(x) = x3 – x2 – x + 1
2.- f(x )= 1/4 x4 + 3x3 + 9x2

Answer 1

f(x) = x³-x² - x+1
f ' = 3x² - 2x - 1
       hallando sus raices:
       3x          1             3x+1 = 0            x-1=0
         x         -1               x = -1/3               x = 1
f '' = 6x - 2
f(-1/3) = 6 (-1/3) - 2 = -2-2 = -4     máximo       f''<0 máximo
f(1) =  6(1) -2 = 6-2 = 4                 mínimo        f''>0 mínimo

calculando la imagen
f(-1/3) = (-1/3)³ - (1/3)² - 1/3 +1
           =  -1/27 - 1/9 - 1/3 + 1 = -12/27 = -4/9  
               (-1/3 , -4/9)

f(1) = 1³ - 1² - 1 + 1 =0          (1,0)

f(x) = 1/4 x⁴ + 3x³ + 9x²
f ' = x³ + 9x² + 18x
       x²               6x           x²+6x = 0              x+3x = 0
       x                3x           x (x+6) = 0               4x = 0
                                       x=0    x=-6                   x = 0
f '' = 3x² +18x + 18
                      

Answer 2

1) x3 – x2 – x + 1
Primera derivada= 3x²-2x-1
Las raíces de esta son x=1, x=-1/3

Segunda derivada= 6x-2
Reemplazamos las raíces de la primera derivada
=6(1)-2=6-2=4 MÍNIMO
=6(-1/3)-2=-2-2=-4 MÁXIMO

Luego calculamos la imagen en la original de los extremos relativos:
f(1)=1-1-1+1=0
f(-1/3)= 32/27

Entonces nos queda:
MÍNIMO (1, 0)
MÁXIMO (-1/3, 32/27)

2. HACEMOS LO MISMO QUE EN LA PRIMERA.
Primera derivada: x³+9x²+18x
Raíces de la 1era derivada: x=0, x=-3, x=-6

Segunda derivada: 3x²+18x+18
Reemplazamos las raíces de la primera derivada:
(0)= 18 MÍNIMO
(-3)=  -9 MÁXIMO
(-6)=  18 MÍNIMO

Luego calculamos la imagen en la original de los extremos relativos:
(0)= 0
(-3)=  -81/4
(-6)= -648

Entonces tenemos:
MÍNIMOS (0,0) U (-6, -648)
MÁXIMO (-3, -81/4)

Saludos :D