Question

Se desea construir una pista de patinaje circular y para ello los diseñadores determinan que uno de sus diámetros pasa por los Puntos A (-2,-3) y B (6,5) como se muestra en la Figura. Pista de patinaje. Calcular la ecuación de la circunferencia que ayude a los diseñadores con la construcción de la pista.

Answer 1

La ecuación de la circunferencia de la pista de patinaje está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-2)^2+(y-1)^2= 32 }}$

Solución

Llevamos el problema al plano cartesiano

Dado que el diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y donde los puntos finales se encuentran en la circunferencia del círculo.

Los extremos dados del diámetro son los puntos A (-2,-3) y B (6,5)

Luego debemos hallar el centro del círculo, el cual al ser el radio la mitad del diámetro:

El punto central del círculo está dado por el punto medio entre los dos puntos extremos del diámetro conocido

Por tanto

Se debe hallar el punto medio entre los puntos extremos A (-2,-3) y B (6,5) para determinar el centro del círculo

Empleamos la fórmula del punto medio para hallar el punto medio del diámetro y con él el centro del círculo

$\large\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{x_{1} + x_{2} }{2}\ , \frac{y_{1} + y_{2} }{2} \right)}}$

Reemplazamos los valores para $\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}$

$\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{-2 + 6 }{2} \ , \frac{-3 + 5 }{2} \right)}}$

$\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{4 }{2} \ , \frac{2 }{2} \right)}}$

$\large\boxed{\bold { Punto \ Medio = ( 2, \ 1 ) }}$

$\large\boxed{\bold { C\ ( 2, \ 1 ) }}$

Luego el centro del círculo está dado por el punto o par ordenado C (2, 1)

Hallamos el radio del círculo

Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia

Tomamos para hallar el radio del círculo su centro -el cual determinamos en el inciso anterior- y uno de los puntos extremos dados por enunciado

Tomando entonces los puntos C (2, 1) y A (-2, -3)  

Empleamos la fórmula de la distancia para hallar el radio del círculo

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Reemplazamos los valores para $\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{((-2)-2 )^{2} +((-3- 1)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(-4 )^{2} +(-4)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{16\ + \ 16 } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{32 } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{4^{2} \ . \ 2 } } }$

$\large\boxed{ \bold { radio =4 \sqrt{ 2 } } }$

El radio del círculo es igual a 4√2 unidades

Determinamos la ecuación de la circunferencia

La suma de la abscisa elevada al cuadrado más la suma de la ordenada elevada al cuadrado es igual al radio al cuadrado

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

Centro (2,1) y radio 4√2

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (1, 2) y radio = 4√2 unidades

$\boxed{ \bold { (x-2)^2+(y-1)^2=\left(4\sqrt{2}\right) ^{2} }}$

$\boxed{ \bold { (x-2)^2+(y-1)^2= 16 \ . \ 2 }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-2)^2+(y-1)^2= 32 }}$

Siendo esta la ecuación de la circunferencia de la pista de patinaje

Se encuentra la gráfica en el adjunto