La ventana de una casa consta de un cuadrilátero coronado con una semicircunferencia como se ilustra en la figura. Si el perímetro debe ser de 8 metros, ¿Cuáles son los valores x y y de la ventana para que entre la mayor cantidad de luz a la habitación?
Respuestas
Los valores de x y y de la ventana que permiten una mayor cantidad de luz en la habitación son:
x = 0.84 m
y = 2.93 m
Explicación paso a paso:
Datos;
- Una ventana consta de un cuadrilátero coronado con una semicircunferencia
- Si el perímetro debe ser de 8 metros,
¿Cuáles son los valores x y y de la ventana para que entre la mayor cantidad de luz a la habitación?
El perímetro de una figura geométrica es la suma de sus lados;
- Cuadrilátero = x + 2y
- Semicircunferencia = [2π·(x/2)]/2 = π·x/2
Sustituir;
P = 8 m = x + 2y + π·x/2
(1+π/2)x + 2y = 8
Despejar y;
2y = 8 - (1+π/2)x
y = 4 - (1+π/2)/2 x
El área de la ventana es la suma del área del cuadrilátero y la semicircunferencia.
- Cuadrilátero: A = (x)(y)
- Semicircunferencia = A = π·(x/2)²/2
A = (x)(y) + [π·(x²/4)]/2
Sustituir y;
A = (x)[4-(1+π/2)/2 x] + [π·(x²/4)]/2
A(x) = 4x - (2+π/4) x² + π/8 x²
A(x) = 4x + (π/8 - 2 - π/4) x²
A(x) = 4x -(2+π/8) x²
Aplicar Derivada;
A'(x) = d/dx[4x -(2+π/8) x²]
d/dx[4x] = 4
d/dx[-(2+π/8) x²]= -2(2+π/8) x
A'(x) = 4 - 2(2+π/8) x
Igualar a cero;
4 - 2(2+π/8) x = 0
2(2+π/8) x = 4
x = 4/ 2(2+π/8)
x = 2/(2+π/8) ≈ 0.84 m
y = 4 - (1+π/2)/2 (0.84)
y ≈ 2.93 m
