5. En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm,
C = 19 cm, zB = 55°. Calcula el lado b y los
ángulos A y C
Respuestas
Respuesta:
El coseno de un angulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa
\cos\alpha = \frac{b}{c}
Resultado de imagen para COSENO
Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen.
1.- En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo
ley cosenos 1
Solución: Para poder resolver el siguiente ejercicio, asumimos que el lado que deseamos encontrar es el lado b, puesto que el ángulo opuesto es B, entonces nuestra fórmula queda:
\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cdot \cos B
De esto resulta
\displaystyle {{b}^{2}}={{13}^{2}}+{{19}^{2}}-2(13)(19)\cdot \cos (55{}^\circ )
\displaystyle {{b}^{2}}=169+361-494(0.5735)
Por lo que:
\displaystyle {{b}^{2}}=246.6532
\displaystyle b=15.7052cm
Ahora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, pero nos hace falta conocer los ángulos, para ello, considero un ángulo que deseo calcular que bien puede ser el ángulo A o el ángulo C.
En este caso, elegiré el ángulo A, por lo que mi ecuación quedará:
\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \cos A
Sin embargo, el valor del lado a, b y c ya los tengo, entonces procedo a despejar el coseno de A, para resolver.
\displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-2bc\cdot \cos A
Despejando aún más…
\displaystyle \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}=\cos A
Invirtiendo la ecuación
\displaystyle \cos A=\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}
Listo, ahora es momento de sustituir nuestros valores:
\displaystyle \cos A=\frac{{{13}^{2}}-{{15.7052}^{2}}-{{19}^{2}}}{-2(15.7052)(19)}=0.7350
Ahora aplicando coseno inverso.