Question

Calculo Integral, por favor ayudiss con estos ejercicios de calculo integral por partes, paso a paso, con las propiedades aplicada, Gracias. Salu2 Megan.

1) ∫ x² Cosx dx

2) ∫ x³ Senx dx

3) ∫ x $e^{ax}$ dx

4) ∫ $e^{ x^{} }$ Senx dx

Answer 1

Sea la formula de integración por partes ∫ u dv = uv - ∫ v du

1) ∫ x² Cosx dx
Sea: u= x², du/dx =2x, du = 2x dx
Sea: dv= Cosx dx, v= ∫Cosx dx, v= Senx

∫ x² Cosx dx = x²  Senx -  ∫Senx 2x dx
=  x²  Senx -  2∫Senx x dx
Aplicando nuevamente la integración por partes:
Sea: sen x dx= dv,  ∫senx dx = v, - Cosx = v
Sea: u=x, du/dx =1, dx= du
∫Senx x dx = -x Cosx + ∫Cosx dx = -x Cosx + Senx

∫ x² Cosx dx
= x²  Senx -  2(-x Cosx + Senx)
R= Senx (x² -2) + 2x Cosx + c


3) ∫ eⁿˣ x  dx
Sea u= x, du/dx = 1, dx= du
Sea dv =  eⁿˣ dx, v= ∫eⁿˣ dx

∫eⁿˣ dx, Integraremos por sustitución.
Sea b= nx....db/dx = n.......db/n = dx
= ∫1/n eᵇ db... Como n es una constante la sacaremos de la integral:
1/n  ∫eᵇ db = 1/n eᵇ = 1/n eⁿˣ

∫eⁿˣ x  dx = 1/n x  eⁿˣ - ∫1/n eⁿˣ dx = 1/n eⁿˣ x - 1/n ∫eⁿˣ dx
=1/n eⁿˣ x -1/n (1/n eⁿˣ)
 eⁿˣ/n(x - 1/n) + c
R= eⁿˣ(nx -1)/n²    + c

4)∫eˣ Senx dx, 
Sea u = eˣ, du= eˣ dx
dv= sen x dx, v = -cosx
∫eˣ Senx dx = -eˣ cosx + ∫cos x eˣ dx

Volviendo a realizar la integración por partes para  ∫cos x eˣ dx:
u= eˣ, du= eˣdx
dv= cos x dx, v = Senx 

∫eˣ Senx dx = -eˣ cosx + eˣ Senx - ∫ eˣ Senx  dx
2  ∫ eˣ Senx  dx = eˣ (senx - cosx)
∫ eˣ Senx  dx
 R = 1/2 eˣ (senx - cosx)   + c