Question

encuentra el octavo termino de cada una de las siguientes sucesiones y cual seria su serie algebraica o formula para encontrarlo:
3,9,27,81,243....
1, 1/4, 1/16, 1/64....
2,6,18,54,162....

Answer 1

Este es el primero
a1
r=a2/a1
r=9/3=3
a2
r=a3/a2
r=27/9=3
 entonces r que es la razon comun es 3
a1(r^n-1)
conocemos r=3, a1= es el primer termino, es decir, 3,
Esta es la serie, usted le puede dar valores a n, donde n es el termino deseado sea por ejemplo n= 8 termino
3(3^n-1) : esta es la serie
3(3^n-1) : esta es el ejemplo hallar el cuarto numero n=8
3(3^8-1)=3(3^7)=3(2187)=6561, efectivamente se cumple
es una sucesion geometrica.
otro ejemplo
3(3^4-1)=3(3^3)=3(27)=81

Answer 2

Lo primero que hay que buscar es la razón o diferencia entre dos términos consecutivos para saber si la progresión (sucesión) es aritmética o geométrica.

Si para conseguir el término siguiente hay que sumar o restar siempre un mismo número al término anterior, la progresión es aritmética PA y ese número se identifica como la "diferencia" entre términos consecutivos.

Pero si hay que multiplicar o dividir la progresión es geométrica PG.

En este caso y tomando la primera de ellas, ya se observa que cada término se calcula multiplicando el anterior por un número llamado razón por lo tanto estamos ante una PG que además es ascendente porque cada término hallado es MAYOR que el anterior. Es otra característica de las progresiones.

Si coges el segundo término y lo divides por el primero, te dará la razón "r" que es 3.

La fórmula del término enésimo  $a_n$  de cualquier progresión geométrica dice:  $a_n=a_1* r^{n-1}$

Si nos pide el término nº 8, habrá que sustituir la "n" por el "8", la "r" por su valor que es 3  y   $a_1$  (primer término de la PG) por su valor que también es 3 de este modo:  $a_8=3* 3^{8-1}$ ... y resolviendo eso...

$a_8=3* 3^{8-1}=3*3^7=3^8 = 7371$  
Ahí tienes el término a₈

Y el término enésimo será:  
$a_n=3* 3^{n-1} \\ a_n=3^1* 3^{n-1} \\ a_n=3^{1+n-1} \\ a_n=3^n$
Si das valores a "n" a partir del 1, verás que se cumple la sucesión.
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Con la siguiente progresión también se consiguen los términos multiplicando por el anterior pero en este caso es descendente, es decir, cada término es menor que el anterior según puedes observar y eso nos dice que la razón será un fracción propia.

En este caso, los términos se consiguen multiplicando por  $\frac{1}{4}$  el término anterior, así que ahí tienes la razón de esta PG.

Hallar el término a₈ se hace igual que con la anterior, sustituyendo  $a_n$  por   $a_8$  en la fórmula que nos proporciona el término enésimo. Copia el procedimiento anterior.

Y encontrar la expresión para hallar cualquier término de la PG se hace también como te he explicado y te repito aquí:

El término  a₁  aquí es 1 y la razón ya hemos dicho que es 1/4, así que sustituyendo en la fórmula general...
$a_n=1* ( \frac{1}{4})^{n-1} \\ \\ a_n=( \frac{1}{4})^{n-1} \\ \\ a_n= \frac{1^{n-1}}{4^{n-1}} \\ \\ a_n= \frac{1}{4^{n-1}}$

Y así quedaría el término enésimo de esa progresión donde dando valores a "n" a partir del 1 te iría construyendo la PG.
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Puedes practicar con la última según lo que te he explicado. Comienza por dividir el segundo término entre el primero y sabrás la razón de la PG. Luego sigue el procedimiento que es igual que el que he hecho yo.

Saludos.