Question

Encuentre el factor integrante para la siguiente ecuación linea alguien sabe

Answer 1

Tema: Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante.

La ecuación diferencial exacta tiene la forma:

$\boxed{\bf{P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}}$

Para que sea considerada una ecuación diferencial exacta, se debe cumplir que:

$\boxed{\bf{\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} }}$

Entonces, primero verifiquemos esto.

La expresión es:

$xy\prime +(1+x)y=e^{-x}\sin[\sin(2x)]$

$y\prime =\dfrac{dy}{dx}$

$x\dfrac{dy}{dx} +(1+x)y=e^{-x}\sin[\sin(2x)]\to \texttt{Pasamos todo de un solo lado}\\x\dfrac{dy}{dx} +(1+x)y-e^{-x}\sin[\sin(2x)]=0 \to \texttt{Multiplicamos por dx}\\\underbrace{x}_{Q(x,y)}\:dy +\underbrace{\{(1+x)y-e^{-x}\sin[\sin(2x)]\}}_{P(x,y)}dx=0$

Vemos si es exacta:

$\dfrac{\partial P}{\partial y}= 1+x\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}=1$

Como podemos observar:

$\dfrac{\partial P}{\partial y}\neq \dfrac{\partial Q}{\partial x}$

Acá usamos la definición del factor integrante, dicho factor hace que la ecuación que no es exacta, se vuelva en ella.

Para ello se usa la ecuación estrella:

$\boxed{\bf{\dfrac{1}{\mu (x,y)}[Q(x,y)\dfrac{\partial \mu}{\partial x}-P(x,y)\dfrac{\partial \mu}{\partial y}]=\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}} } }$

Usaré el caso $\mu (x)$

En ese caso, como el factor integrante depende de $x$, $\partial \mu /\partial y =0$

La expresión se reduce a:

$\dfrac{1}{\mu (x,y)}\dfrac{d \mu}{d x} Q(x,y)=\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}\\\dfrac{1}{\mu (x,y)}\dfrac{d \mu}{d x} =\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q(x,y)}\\ \boxed{\dfrac{d\ln \mu}{dx} =\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q(x,y)}}$

Sustituimos:

$\dfrac{d \ln \mu}{dx}=\dfrac{x+1-1}{x} \\\dfrac{d \ln \mu}{dx}=\dfrac{x}{x} \\\dfrac{d \ln \mu}{dx}=1 \to \int d \ln \mu=\int dx\\\ln \mu=x \to \mu =e^{x}$

$\boxed{\textrm{El factor integrante es}\:e^{x} }}$

Comprobemos esto usándolo:

$x\:dy +\{(1+x)y-e^{-x}\sin[\sin(2x)]\}dx=0\to \textrm{Usando el f.i:}\\ \underbrace{e^{x} x}_{Q(x,y)}\:dy +\underbrace{\{e^{x} (1+x)y-\sin[\sin(2x)]\}}_{P(x,y)}dx=0$

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}= e^{x} +xe^{x} \\\dfrac{\partial P}{\partial y} =e^{x}(1+x)=e^{x}+xe^{x}$

Entonces:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$

Por lo que, el factor integrante vuelve la ecuación no exacta en exacta.