• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: elicuevas0207
  • hace 3 años

Dividir:
a. 15x5 y
6
20m4 n
2

b. ------------ ---------------
3x3 y
4
10m3 n
4

Respuestas

Respuesta dada por: viloriaelyhezer47
1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Teorema: El resto o residuo de la división de un polinomio P(x) por un polinomio de la forma x - a es igual que el resultado de evaluar el polinomio P(x) en a.

Por ejemplo, dividamos P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 entre x - 3 utilizando la regla de Ruffini:

\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline 56\end{array}

Así, el cociente de la división es x^3 + 3x^2 + 6x + 18, mientras que el residuo es 56. Por otro lado, si evaluamos P(x) en 3, obtenemos:

\displaystyle P(3) = 3^4 - 3(3)^2 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

Nota: Observemos que si P(a) = 0, entonces significa que el residuo es 0. En otras palabras:

\displaystyle \frac{P(x)}{x - a} = Q(x) + 0 = Q(x)

Si multiplicamos ambos lados por x - a tenemos que

\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x)

Por lo tanto, x - a es un factor de P(x). Este resultado se conoce como el teorema del factor.

Teorema del factor

Teorema: El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(a) = 0.

Como ejemplo, consideremos el polinomio P(x) = x^2 - 5x + 6. Notemos que

\displaystyle P(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 0, \qquad P(3) = 3^2 - 5(2) + 6 = 0

por lo tanto, P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Además, x = 2 y x = 3 son raíces de P(x).

Nota: Si P(x) es un polinomio de grado n y se divide por x - a, entonces el resultado tiene la forma:

\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x) + r

donde r es constante y se conoce como residuo, mientras que Q(x) es un polinomio de grado n - 1.

Teorema Fundamental del Álgebra

Teorema: Un polinomio P(x) = a_nx^n + \cdots + a_1 x + a_0 de grado n y con coeficientes reales a_n, \dots, a_0 \in \mathbb{R} tiene exactamente n raíces, las cuales pueden ser reales o complejas.

Nota: Los polinomios reales tienen n raíces, sin embargo, es posible que ninguna sea real. Cuando ninguna raíz es real entonces el polinomio P(x) no se puede factorizar en factores lineales.

Nota: Recordemos que factorizar un polinomio P(x) en factores lineales significa escribir P(x) de la forma

\displaystyle P(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)

en donde a_1, a_2, \dots, a_n son las raíces de P(x).


elicuevas0207: gracias
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