Question

Determine :

* La Cantidad De Años, Luego de Haberse Creado La empresa, Donde Hubo Una Mayor Cantidad De Trabajadores Y Cual Fue La Mayor Cantidad De Trabajadores Que Logró Tener La Empresa

* La Cantidad Dicha De Años Que Transcurrió Para Que No Quedará Ningún Trabajador.

*¿Cuantos Trabajadores Tenía Al Comenzar La Empresa?
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Answer 1

A )

Para encontrar la cantidad de años donde hubo mayor cantidad de trabajadores, debemos encontrar las coordenadas X del vértice de la parábola.

Se calcula así:

• $V_x = \dfrac{-b}{2a} & (1)$

Donde en nuestra ecuación

• $t(x) = -x ^2 + 20x + 10$

Los coeficientes a b y c son:

• $ax ^2 + bx + c$

Los que tenemos que identificar en nuestra ecuación:

• $t(x) = - \overbrace{(1)}^{a} x ^2 + \underbrace {20}_{b}x + \overbrace{10}^{c} & (2)$

Sustituimos en la fórmula (1), los valores de a y b, de nuestra ecuación:

• $V_x = \dfrac{- (20) }{2 \cdot -1}$

Y resovemos:

• $V_x = \dfrac{-20}{-2}$

• $V_x = 10$

Por lo tanto:

Cantidad de años donde hubo mayor trabajadores:

• $\boxed{ 10 años }$

Para encontrar la mayor cantidad de trabajadores que logró tener la empresa

Debemos sustituir el valor de X que acabamos de encontrar ( 10 ) en la función que nos dan:

• $t(10) = -(10) ^2 + 20 \cdot (10) + 10$

• $t(10) = -100 + 200 + 10$

• $t(10) = 110$

Por lo tanto:

Cantidad de trabajadores máximo que tuvo la empresa:

• $\boxed{110 \: trabajadores }$

B )

La cantidad de años que transcurrió para que no quedara ningún trabajador:

Es decir, la función que nos indicaba el número de trabajadores sería igual a cero, eso para calcular los X años:

• $-x ^2 + 20x + 10 = 0$

Pero tenemos que dejar el coeficiente de x² igualado a +1, multiplicando la igualdad por -1:

• $-1 ( -x ^2 + 20x + 10 ) = 0 \cdot ( - 1 )$

Y queda:

• $x ^2 - 20x - 10 =$

Resolvemos esa ecuación cuadrática usando la fórmula general:

• $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{ b ^2 - 4ac \: \: }} {2a}$

Ya habíamos identificado los coeficientes a b y c, pero les cambiamos SOLAMENTE los signos y por lo tanto, sustituimos:

• $x = \dfrac{-(-20) \pm \sqrt{(-20) ^2 - 4 (1) (-10) \: \: }}{ 2 ( 1 ) }$

Resolvemos:

• $x = \dfrac{20 \pm \sqrt{ 440}}{2}$

• $x = \dfrac{20 - 2 \sqrt{110}} {2}$

• $x \approx 20.5$

Entonces la respuesta es

• $\boxed{20.5 \: años }$

C)

¿Cuántos trabajadores tenía la empresa, al comenzar?

Es decir a los 0 años.

• $t(0) = -x ^2 + 20x + 10$

Resolvemos:

• $t(0) = -0 ^2 + 20 \cdot 0 + 10$

• $t(0) = 10$

R=

• $\boxed{ 10 \: trabajadores }$