Question

Racionalizar
$\frac{2}{3 + \sqrt{3} }$
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Answer 1

Para racionalizar, se tiene que eliminar alguna raíz que haya en el dominador.

Tenemos que multiplicar toda la ecuación por el conjugado de el denominador.

El conjugado de $3 + \sqrt{3}$ es $3 - \sqrt{ 3}$

Cómo puedes ver, en los conjugados, sólo cambia el signo de en medio.

La conjugación se hace por la diferencia de cuadrados :

• $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Entonces sabiendo eso, multiplicamos:

• $\left ( \dfrac{2 }{3+\sqrt{ 3} } \right) \left ( \dfrac{ 3- \sqrt{ 3}}{3 - \sqrt{ 3} } \right)$

Si observamos bien, nos damos cuenta que

• $\dfrac{ 3- \sqrt{ 3}}{3 - \sqrt{ 3} } = 1$

Entonces sería como multiplicar la ecuación original por 1, y al multiplicar por 1 no afecta la igualdad.

Entonces, seguimos: lo de arriba lo multiplicamos y lo de abajo se vuelve una diferencia de cuadrados

• $\left ( \dfrac{2 \times (3- \sqrt{ 3})}{3^2 - (\sqrt{ 3})^2 } \right) =$

Operamos:

• $\left ( \dfrac{2 \times (3- \sqrt{ 3})}{9- (\cancel{\sqrt{ 3}})^{\cancel 2 }} \right) =$

• $\left ( \dfrac{2 \times (3- \sqrt{ 3})}{6} \right) =$

Simplificamos el 2 y el 6 y quitamos paréntesis

• $\boxed{ \dfrac{3- \sqrt{ 3}}{3} }$