Question

3. Encuentra el ángulo que se forma entre las rectas 5x-3y-1=0 y 4x-5y+32=0, verifica tu resultado haciendo la representación gráfica de la recta.

Answer 1

El ángulo entre las dos rectas dadas es de aproximadamente 20.38°                                              

Solución

Llevamos el problema al plano cartesiano

Donde dos rectas que se cortan entre sí determinan cuatro ángulos -donde dos pares de ellos serán iguales entre sí .

Al menor de tales ángulos se lo define como el ángulo entre dos rectas.

Se puede obtener el valor de este ángulo conociendo las respectivas pendientes de las rectas

Determinamos las pendientes de las rectas

Sea la recta L 1

$\large\boxed {\bold { 5x - 3y -1= 0 }}$

Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

$\large\textsf{Donde m es la pendiente y b la intersecci\'on con el eje Y } { \ }$

Resolvemos para y    

$\large\boxed {\bold { 5x - 3y -1= 0 }}$    

$\boxed {\bold { -3y = -\ 5x +1 }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not -3y}{\not-3} = \frac{-5x}{-3} + \frac{1}{-3} }}$

$\boxed {\bold { y= \frac{5x}{3} - \ \frac{1}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { y= \frac{5}{3}\ x - \ \frac{1}{3} }}$

El coeficiente que acompaña a la x es la pendiente

Luego

Para L1

$\large\boxed{\bold {m_{1} =\frac{5}{3} }}$

Hallamos la pendiente de la segunda recta

Sea la recta L 1

$\large\boxed {\bold { 4x - 5y +32= 0 }}$

Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

$\large\textsf{Donde m es la pendiente y b la intersecci\'on con el eje Y } { \ }$

Resolvemos para y    

$\large\boxed {\bold { 4x - 5y +32= 0 }}$    

$\boxed {\bold { -5y = -\ 4x -32 }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not -5y}{\not-5} = \frac{-4x}{-5} + \frac{-32}{-5} }}$

$\boxed {\bold { y= \frac{4x}{5} + \ \frac{32}{5} }}$

$\large\boxed {\bold { y= \frac{4}{5}\ x + \ \frac{32}{5} }}$

El coeficiente que acompaña a la x es la pendiente

Luego

Para L2

$\large\boxed{\bold {m_{2} =\frac{4}{5} }}$

Determinamos el ángulo entre rectas

Ya conocidas las pendientes de las dos rectas, a las que hemos denotado como m1 y m2

Para calcular el ángulo entre las dos rectas L1 y L2 empleamos la siguiente fórmula

$\large\boxed {\bold { tan (\alpha )= \left[\frac{m_{1}-m_{2} }{1 + m_{1}\ . \ m_{2} }\right] }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \left[\frac{\frac{5}{3} -\frac{4}{5} }{1 + \frac{5}{3} \ . \ \frac{4}{5} }\right] }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{15}{15} \ .\ \frac{\frac{5}{3} -\frac{4}{5} }{1 + \frac{5}{3} \ . \ \frac{4}{5} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{15 \ . \ \left(\frac{5}{3} -\frac{4}{5}\right) } {15 \ . \ \left(1 + \frac{5}{3} \ . \ \frac{4}{5} \right) } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{15 \ . \ \frac{5}{3} + 15 \left(-\frac{4}{5}\right) } {15 \ . \ 1 + 15 \ . \ \left( \frac{5}{3} \ . \ \frac{4}{5} \right) } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{\not3 \ . \ 5 \ . \ \frac{5}{\not3} + 15 \left(-\frac{4}{5}\right) } {15 + 15 \ . \ \left( \frac{5}{3} \ . \ \frac{4}{5} \right) } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{25 + 15 \left(-\frac{4}{5}\right) } {15 + 15 \ . \ \left( \frac{5}{3}\right) \ . \ \frac{4}{5} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{25 \ + \not 5 \ . \ 3 \ . -\frac{4}{\not5} } {15\ + \not 5 \ . \ 3 \ . \ \left( \frac{5}{3}\right) \ . \ \frac{4}{\not 5} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{25 \ - 12 } {15\ + \ \frac{15}{3} \ . \ 4 } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{25 \ - 12 } {15\ + \ \frac{60}{3} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{ 13 } {15\ + \ 20 } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{ 13 } {35} }}$

$\large\textsf{Aplicamos tangente inversa }$

$\boxed {\bold { \alpha = arctan\left(\frac{ 13 } {35}\right) }}$

$\boxed {\bold { \alpha = 20.37643^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 20.38^o }}$

El ángulo entre las dos rectas dadas es de aproximadamente 20.38°                                              

Se agrega como adjunto la gráfica solicitada