Question

3.- Demostrar que los puntos D (2,-2), E (-8,4), F (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo.

7.- Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos D(0,0), E(1,2), F(3,-4).

11.- Los vértices de un triángulo son los puntos A(2,-2), B(-1,4) y C(4,5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.

15.- Demostrar que los puntos D(1,1), E(5,3) y F(6,-4) son vértices de un triángulo isósceles, y hallar uno de los ángulos iguales.

19.- Una recta L1 pasa por los puntos A (3,2) y B (-4,-6) y otra recta L2 pasa por el punto C (-7,1) y el punto D cuya ordenada es –6. Hallar la abscisa del punto D, sabiendo que L1 es perpendicular a L2.

Answer 1

3)  Demostrar que los puntos D(2, -2), E(-8, 4), F(5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo
D(2, -2),  E(-8, 4),  F(5, 3)   d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ -y₁)²
d(DE) = √(-8-2)² + (4 + 2)²  ⇒ √(-10)² + (6)² ⇒ √100 + 36 ⇒ √136

d(EF) = √(5+8)² + (3-4)² ⇒ √(13)² + (-1)² ⇒ √169 + 1 ⇒ √170

d(DF) = √(5-2)² + (3+2)² ⇒ √(3)² + (5)² ⇒ √9 + 25 ⇒ √34
Teorema de Pitagoras
a² + b² = c²
(√136)² + (√34)² = (√170)²
    136 + 34 = 170
            170 = 170

7.-  Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos D(0,0), E(1,2), F(3,-4)      ║║ = El valor absoluto
 
             ║0    0║
             ║1    2║
A = 1/2 ║ 3  -4║ +(-4) - (6) = ║-4 - 6║ = ║-10║= 1/2(10)  A=5u²
             ║ 0   0║

11.- Los vértices de un triángulo son los puntos A(2, -2), B(-1, 4), C(4, 5)        Calcular la pendiente de cada uno de ellos.
         y₂ - y₁ 
m = ------------
        x₂ - x₁

mab = 4 + 2/-1-2 = 6/-3 = - 2    mab = -2
mbc = 5 -4/4 + 1 = 1/5              mbc = 1/5
mca = -2 -5/2 -4 = -7/-2 = 7/2   mca = 7/2

15.-  Demostrar que los puntos D(1, 1), E(5, 3) y F(6, -4), Son los             vértices de un triángulo isósceles, y hallar uno de los ángulos iguales (será uno de los lados iguales)
d(DE) = √(5 - 1)² + (3 - 1)² ⇒√(4)² + (2)² ⇒ √16 + 4 ⇒ √20
d(EF) = √(6 - 5)² (-4 - 3)² ⇒√(1)² +(-7)² ⇒ √1 + 49 ⇒ √50
d(FD) = √(1 - 6)² + (1 + 4)² ⇒√(-5)² + (5)² ⇒ √25 + 25 ⇒√50
Triángulo Isósceles: Dos lado iguales y uno desigual. EF = FD 
Para obtener el ángulo del vértice D, es necesario sacar sus pendientes de los lados DE y EF y determinar cual es m₁ y m₂
m(DE) = 3 - 1/5 - 1 = 2/4 = 1/2     mDE = 1/2
m(EF) = - 4 - 3/6 - 5 = - 7/1 = -7   mEF = - 7
                  m₂ - m₁ 
Tang α = ----------------             m₁m₂ ≠ -1
                1 + m₂ · m₁

E  m₁ = 1/2,   m₂ = -7

                 - 7 - 1/2                   - 15/2        - 15/2         15
Tang E = --------------------  = ------------- = ----------- = ------- = 3
                1 + (-7) (1/2)           1 - 7/2          -5/2            5
Despejar el ángulo del vértice E:
E = tang⁻¹ (3) = 71.57°       E = 71.57°

19.- Una recta L1 pasa por los puntos A(3, 2) y B(- 4, - 6) y otra recta L2 pasa por el punto C(- 7, 1) y el punto D cuya ordenada es - 6. Hallar la abscisa del punto D, sabiendo que L1 es perpendicular a la L2.

La condición para que dos rectas sean perpendiculares, es que la multiplicación de sus pendientes tiene que dar - 1
mAB = - 6 - 2 / - 4 - 3 = - 8/ -7 = 8/7
La pendiente de la recta L1 = m = 8/7
La pendiente de la recta L2, m = - 7/8
la ordenada es - 6, que se encuentra en el eje y
Hallar la abscisa (en el eje x) del punto D
D(x, - 6), y tenemos el punto C(- 7, 1)
Ecuación punto pendiente:
y - y₁ = m (x - x₁)  Sustiuir el punto C(- 7, 1)
y - 1 = - 7/8 (x + 7)
8(y - 1) = - 7 (x + 7)
8y - 8 = - 7x - 49 
8y = - 7x - 49 + 8
8y = - 7x - 41 despejar x
8y + 7x = - 41
7x = - 8y - 41
  
      - 8y - 41
x = -------------
            7
        
Sustituir el valor del punto D, cuya ordenada es - 6 
      - 8(-6) - 41  
x = -----------------
              7
 
       48 - 41 
x = -------------
            7
   
      7
x = ---
       7
x = 1 o Abscisa
El punto D(1, - 6)

Answer 2

1. Los puntos D = ( 2 , - 2 ), E = ( - 8 , 4 ) y F = ( 5 , 3 ) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Demostración de que los puntos D = ( 2 , - 2 ), E = ( - 8 , 4 ) y F = ( 5 , 3 ) son los vértices de un triángulo rectángulo:

Cálculo de la distancia entre los puntos:

• $d_{D-E}=\sqrt{[2-(-8)]^2+(-2-4)^2}=\sqrt{10^2+(-6)^2}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}$

• $d_{F-E}=\sqrt{[5-(-8)]^2+(3-4)^2}=\sqrt{13^2+(-1)^2}=\sqrt{169+1}=\sqrt{170}$
• $d_{F-D}=\sqrt{(5-2)^2+[3-(-2)]^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$

Verificando el Teorema de Pitágoras:

$(\sqrt{170})^2 =(\sqrt{136})^2+(\sqrt{34})^2$

$170=136+34$

$170=170$

2. El área del triángulo cuyos vértices son los puntos D = ( 0 , 0 ), E = ( 1 , 2 ), F = ( 3 , - 4 ) es 5,3092

Cálculo de la distancia entre los puntos:

• $d_{D-E}=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

• $d_{F-E}=\sqrt{(3-1)^2+(-4-2)^2}=\sqrt{2^2+(-6)^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$
• $d_{F-D}=\sqrt{(3-0)^2+(-4-0)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25} =5$

Cálculo de los ángulos internos ( d , e , f ):

$5^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{37} )^2-2*\sqrt{5} *\sqrt{37}*cose$                ⇒            $e=51,3228^ \circ$

$(\sqrt{5})^2=5^2+(\sqrt{37} )^2-2*5 *\sqrt{37}*cosf$                   ⇒            $f=20,4341^ \circ$

$(\sqrt{37} )^2=5^2+(\sqrt{5})^2-2*\sqrt{5} *5*cosd$                     ⇒            $d=108,2431^ \circ$

Cálculo de la altura:

$h=5*sin(20,4341^ \circ)$

$h=1,7457$

Cálculo del área:

$A=\frac{\sqrt{37}*1,7456 }{2}$

$A=5,3092$

3. La pendiente del lado AB del triángulo cuyos vértices son los puntos A = ( 2 , - 2 ), B = ( - 1 , 4 ) y C = ( 4 , 5 ) es - 2.

Cálculo de la pendiente del lado AB del triángulo cuyos vértices son los puntos A = ( 2 , - 2 ), B = ( - 1 , 4 ) y C = ( 4 , 5 ):

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos viene dada por la expresión:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

donde:

$x_2,y_2$: son las coordenadas x e y de un punto

$x_1,y_1$: son las coordenadas x e y del otro punto

Entonces:

$m_{AB} =\frac{4-(-2)}{-1-2}$

$m_{AB} =\frac{6}{-3}$

$m_{AB} =-2$

4. La pendiente del lado AC del triángulo cuyos vértices son los puntos A = ( 2 , - 2 ), B = ( - 1 , 4 ) y C = ( 4 , 5 ) es 3,5.

Cálculo de la pendiente del lado AC del triángulo cuyos vértices son los puntos A = ( 2 , - 2 ), B = ( - 1 , 4 ) y C = ( 4 , 5 ):

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos viene dada por la expresión:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

donde:

$x_2,y_2$: son las coordenadas x e y de un punto

$x_1,y_1$: son las coordenadas x e y del otro punto

Entonces:

$m_{AC} =\frac{5-(-2)}{4-2}$

$m_{AC} =\frac{7}{2}$

$m_{AC} =3,5$

5. La pendiente del lado BC del triángulo cuyos vértices son los puntos A = ( 2 , - 2 ), B = ( - 1 , 4 ) y C = ( 4 , 5 ) es 0,2.

Cálculo de la pendiente del lado BC del triángulo cuyos vértices son los puntos A = ( 2 , - 2 ), B = ( - 1 , 4 ) y C = ( 4 , 5 ):

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos viene dada por la expresión:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

donde:

$x_2,y_2$: son las coordenadas x e y de un punto

$x_1,y_1$: son las coordenadas x e y del otro punto

Entonces:

$m_{BC} =\frac{5-4}{4-(-1)}$

$m_{BC} =\frac{1}{5}$

$m_{BC} =0,2$

6. Los puntos D = ( 1 , 1 ), E = ( 5 , 3 ) y F = ( 6 , - 4 ) son los vértices de un triángulo isósceles.

Demostración de que los puntos D = ( 1 , 1 ), E = ( 5 , 3 ) y F = ( 6 , - 4 ) son los vértices de un triángulo isósceles:

Cálculo de la distancia entre los puntos:

• $d_{D-E}=\sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$

• $d_{F-E}=\sqrt{(6-5)^2+(-4-3)^2}=\sqrt{1^2+(-7)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$
• $d_{F-D}=\sqrt{(-4-1)^2+(6-1)^2}=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$

Lados del triángulo:

Lado DE = $\sqrt{20}$

Lado FE = $\sqrt{50}$

Lado FD = $\sqrt{50}$

Como dos de los lados son iguales el triángulo es isósceles.

7. Los ángulos iguales del triángulo isósceles son d y e y tienen un valor de 71,561°.

Cálculo de los ángulos iguales:

$(\sqrt{50})^2= (\sqrt{50})^2+(\sqrt{20})^2-2*\sqrt{50}\sqrt{20}*cosd$

$\frac{\sqrt{20}}{2*\sqrt{50}} = cosd$

$0,3162 = cosd$

d = 71,561°

8. La abscisa del punto D es - 15.

Cálculo de los vectores directores:

$\vec v_1=(-4,-6)-(3,2)=(-4-3,-6-2)=(-7,-8)$

$\vec v_2=(8,-7)$

Ecuación paramétrica de la recta L2:

( x , y ) = ( - 7 , 1 ) + α*( 8 , - 7 )

Entonces:

( $x_D$ , - 6 ) = ( - 7 , 1 ) + α*( 8 , - 7 )

Resolviendo:

$x_D$ = - 7 + α*8

- 6 = 1 + α*7      ⇒      α = - 1

$x_D$ = - 7 - 1*8

$x_D$ = - 7 - 8

$x_D$ = - 15

Más sobre triángulo:

https://brainly.lat/tarea/32891636

https://brainly.lat/tarea/11002630

https://brainly.lat/tarea/16829719

https://brainly.lat/tarea/34687115

https://brainly.lat/tarea/5423690

https://brainly.lat/tarea/18962743

https://brainly.lat/tarea/29847456

https://brainly.lat/tarea/7831106