Question

Un golfista golpea una pelota en un ángulo de 25° con respecto al suelo. Si la pelota de golf cubre una
distancia horizontal de 301,5 m, ¿cuál es la altura máxima de la pelota? (Sugerencia: en la parte superior
de su vuelo, el componente de velocidad vertical de la pelota será cero).

Answer 1

La altura máxima que alcanza la pelota es de 35.15 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Siendo para el eje y

$\boxed {\bold { V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { V_{x} =V_{} \ . \ cos \ \theta}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { y =y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución  

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Despejamos para hallar la velocidad inicial }$

$\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ =( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta ) }}$

$\boxed {\bold {( V _{0})^{2}= \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta ) } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta )} } }}$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 301.5 \ m \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }{ sen (2 \ 25^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 2954.7 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ sen (50^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 2954.7 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ 0.7660444431189} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{3857.08691779 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}= 62.10544 \ \frac{m }{s } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}= 62.11 \ \frac{m }{s } }}$

La velocidad inicial del lanzamiento del proyectil es de 66.11 metros por segundo (m/s)

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Dado que en el inciso anterior hallamos la velocidad inicial del lanzamiento

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(62.11 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (25^o) }{2 \ . \ 9,8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3857.6521 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.42261826174)^{2} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3857.6521 \ \ . \ 0.178606195 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 35.15308\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 35.15\ metros }}$

La altura máxima que alcanza la pelota es de 35.15 metros

Se adjunta gráfico