Question

DOY CORONA
AYUUUUUDDDDAAAA es para. ya
un polinomio cúbico pasa por los puntos(3,2),(6,1) y tiene valores extremos en x=2 y x=6, cual el polinomio​

Answer 1

El polinomio que cumple lo planteado es $y=\frac{x^3}{27}-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{3}x+1$

Explicación paso a paso:

Un polinomio cúbico tiene la expresión $ax^3+bx^2+cx+d$, los extremos son los puntos donde la derivada es nula, la derivada de este polinomio es:

$3ax^2+2bx+c$

Reemplazamos los valores de x donde es 0:

$3a.2^2+2b.2+c=0\\\\3a.6^2+2b.6+c=0\\\\12a+4b+c=0\\108a+12b+c=0$

Reemplazamos los puntos y queda:

$a.3^3-b.3^2+c.3+d=2\\a.6^3-b.6^2+c.6+d=1\\\\27a+9b+3c+d=2\\216a+36b+6c+d=1$

Podemos restar miembro a miembro estas ecuaciones para que quede un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

$189a+27b+3c=-1$

Y queda el sistema:

$189a+27b+3c=-1\\12a+4b+c=0\\108a+12b+c=0$

Podemos aplicar el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema:

$\left[\begin{array}{ccccc}189&27&3&|&-1\\12&4&1&|&0\\108&12&1&|&0\end{array}\right] \\\\\\F_3=F_3-F_2\\\left[\begin{array}{ccccc}189&27&3&|&-1\\12&4&1&|&0\\96&8&0&|&0\end{array}\right] \\\\F_2=3F_2-F_1\\\\\left[\begin{array}{ccccc}189&27&3&|&-1\\-153&-15&0&|&1\\12&1&0&|&0\end{array}\right]$

$F_3=15F_3+F_2\\\\\left[\begin{array}{ccccc}189&27&3&|&-1\\-153&-15&0&|&1\\27&0&0&|&1\end{array}\right]\\\\F_1=F_1-7F_3\\\\\left[\begin{array}{ccccc}0&27&3&|&-8\\-153&-15&0&|&1\\27&0&0&|&1\end{array}\right]$

De aquí tenemos:

$27b+3c=-8\\-153a-15b=1\\27a=1=>a=\frac{1}{27}\\\\-\frac{153}{27}-15b=1=>-15b=1+\frac{17}{3}=>b=-\frac{20}{45}=-\frac{4}{9}\\\\-12+3c=-8\\\\c=\frac{4}{3}$

Y ahora en cualquiera de las ecuaciones reemplazamos estos valores para hallar 'd':

$\frac{3^3}{27}-\frac{4.(3^2)}{9}+\frac{5}{3}.3+d=2\\\\1-4+4+d=2=>d=1$

Y el polinomio queda $y=\frac{x^3}{27}-\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{3}x+1$