Question

Determine si las rectas L12−x5=y+12=z−13 y L2P=(2,1,−1)+r(5,−40,35)son paralelas, coplanares, perpendiculares u oblicuángulos

Answer 1

Respuesta:

Perpendiculares

Explicación paso a paso:

Se que es esa

Answer 2

A partir de la ecuación simétrica de la recta dada por:

                                      L1: α = 2−x5 = y+12 = z−13

Entonces la ecuación paramétrica de la recta es:

                                                 $x=-\frac{\alpha}{5} + \frac{2}{5}$

                                                 $y = \alpha -12$

                                                 $z = \alpha + 13$

y la ecuación vectorial es:

                               (x, y, z) = (2/5, -12, 13) + α(-1/5, 1, 1)

Por lo que el vector director de la recta es:

                                            $\begin{array}{c} \rightarrow\\v_1\\\end{array} = (-\frac{1}{5},1,1)$

Para la segunda recta, la ecuación vectorial es:

                               L2: P = (2,1,−1) + r(5,−40,35)

Por lo que el vector director de la recta es:

                                            $\begin{array}{c} \rightarrow\\v_2\\\end{array} = (5,-40,35)$

• Las rectas no son paralelas ya que los vectores directores son distintos y no son proporcionales.

Realizando el producto escalar de los vectores directores tenemos:

                                $\begin{array}{c} \rightarrow\\v_1\\\end{array} \cdot \begin{array}{c} \rightarrow\\v_2\\\end{array}=(-\frac{1}{5},1,1) \cdot (5, -40, 35)$

                                         $\begin{array}{c} \rightarrow\\v_1\\\end{array} \cdot \begin{array}{c} \rightarrow\\v_2\\\end{array} = -1 -40 +35$

                                                      $\begin{array}{c} \rightarrow\\v_1\\\end{array} \cdot \begin{array}{c} \rightarrow\\v_2\\\end{array} = -6$

• Como el producto escalar de los vectores directores es diferente de cero las rectas no son perpendiculares.

Igualando las ecuaciones de la recta para saber si se cortan o se cruzan, tenemos:

                                             $-\frac{\alpha}{5} + \frac{2}{5} = 2 +5r$

                                              $\alpha -12 = 1-40r$

Organizando tenemos:

                                                 $\frac{\alpha}{5} +5r =-\frac{8}{5}$

                                                 $\alpha + 40r =13$

Resolviendo tenemos:

                                                      $\alpha = -\frac{79}{3}$

                                                        $r = \frac{11}{15}$

Reemplazamos α para hallar z de la primera recta y r para hallar z de la segunda recta, obteniendo:

                                                    $z_1=-\frac{40}{3}$

                                                      $z_2=\frac{74}{3}$

Colmo las coordenadas z son diferentes las rectas no se interceptan.

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