Question

4. Un atleta se desplaza 60 Km hacia el este, luego 30 Km hacia el norte y finalmente 20 Km hacia el oeste. Halla su desplazamiento resultante:
A) 110 Km B) 70 Km C) 50 Km
D) 40 Km E) 80 Km

Answer 1

El desplazamiento resultante del atleta es de 50 kilómetros

Siendo correcta la opción C

Los puntos cardinales son referencias geográficas que se utilizan para ubicarnos en la Tierra. Estas referencias se definen en base al eje de rotación: el sur y norte apuntan hacia los polos geográficos, mientras que el este y oeste en direcciones perpendiculares a este eje.

Siendo en el plano cartesiano el eje X también llamado eje de la las abscisas representa la dirección este – oeste, y el eje Y llamado el eje de las ordenadas representa la dirección norte – sur

Donde tomamos donde el atleta empezó a desplazarse como centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes se toma el semieje positivo del eje X como la dirección Este, el semieje positivo del eje Y como la dirección Norte y el semieje negativo del eje X como la dirección Oeste

Representamos el problema en el plano cartesiano

El atleta inicia su recorrido partiendo del punto O (0,0) dirigiéndose hacia el Este 60 kilómetros, por lo tanto se desplaza hasta el punto A (60,0), luego desde este punto avanza en dirección Norte recorriendo 30 kilómetros hasta alcanzar el punto B (60,30) y donde luego se dirige finalmente 20 kilómetros hacia el Oeste hasta alcanzar el punto C (40,30) donde culmina su trayectoria de distancia  

Por tanto:    

$\large \textsf{Desde el punto O al A recorre 60 kil\'ometros en direcci\'on Este}$

$\large \textsf{Desde el punto A al B recorre 30 kil\'ometros en direcci\'on Norte}$

$\large \textsf{Desde el punto B al C recorre 20 kil\'ometros en direcci\'on Oeste}$

Hallamos el desplazamiento resultante

El desplazamiento resultante está dado por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria.

Donde el punto inicial es donde el atleta comenzó a desplazarse al iniciar su trayectoria y el punto final es donde el atleta se dirigió y terminó su recorrido de distancia

Luego determinamos la distancia en línea recta entre ambos puntos

$\large\textsf{ Donde el punto inicial est\'a dado por el origen de coordenadas:}$

$\boxed{\bold { O \ (0,0) }}$

$\large\textsf{ Y donde el punto donde termina el trayecto est\'a dado por } \\\large\textsf{ el par ordenado:}$

$\boxed{\bold { C \ (40,30) }}$

A esta distancia en línea recta desde el punto de partida hasta al punto en donde culminó su recorrido el atleta se la conoce como desplazamiento

Por lo tanto empleamos la fórmula de la distancia entre puntos para hallar el módulo del desplazamiento realizado por el atleta

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(40-0 )^{2} +( 30-0 )^{2} } } }$

$\textsf{Resultando en:}$

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(40\ km)^{2} +(30\ km) ^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{ 1600\ km^{2} + 900 \ km^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{2500 \ km^{2} } } }$

$\large\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| = 50 \ km } }$

El desplazamiento resultante del atleta es de 50 kilómetros

Dirección

La dirección resulta ser al ángulo que se forma con el eje X

Para hallar el ángulo buscado recurrimos a las razones trigonométricas habituales

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Luego tomamos la razón trigonométrica tangente

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente } } }$

Consideramos como cateto opuesto a la distancia recorrida por el atleta en dirección norte cuyo valor es de 30 kilómetros. Y donde el cateto adyacente resulta en una resta de distancias entre el tramo efectuado hacia el este de 60 kilómetros y su regreso hacia el oeste de 20 kilómetros; teniendo este cateto una magnitud de 40 kilómetros

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{30 \not km}{ 40 \not km } } }$

$\textsf{Simplificamos }$

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{3}{ 4 } } }$

$\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente para hallar el \'angulo}$

$\boxed{\bold{ \alpha = arctan \left( \frac{3}{4} \right)}}$

$\boxed{\bold{ \alpha = 36.86989^o}}$

$\large\boxed{\bold{ \alpha = 37^o}}$

La dirección es hacia el Noreste con un ángulo de 37° respecto al Este

Se agrega como adjunto la resolución gráfica