Question

Una concentración particular de un producto químico detectado en agua contaminada se encuentra que es letal para 20% de los peces que queden expuestos a la concentración durante 24 horas. Veinte peces se colocan en un tanque que contiene esta concentración del producto químico en agua.
a Encuentre la probabilidad de que exactamente 14 sobrevivan.
b Encuentre la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan.
c Encuentre la probabilidad de que a lo sumo 16 sobrevivan.
d Encuentre la media y la varianza del número que sobrevive.

Answer 1

La probabilidad de que 14 peces sobrevivan es del 10,9%

La probabilidad de que al menos 10 sobrevivan es del 99,94%

La probabilidad de que a lo sumo 14 sobrevivan es del 58,86%

La esperanza del número que sobrevive es 16 y la varianza es 3,2.

Explicación:

La cantidad de peces que sobreviven se puede considerar una distribución binomial donde la probabilidad de sobrevivir para cada pez es 1-0,2=0,8. Entonces queda:

a) La probabilidad de que 14 sobrevivan es:

$P(X=14)=\left[\begin{array}{c}20\\14\end{array}\right] (0,8)^{14}(1-0,8)^{20-14}\\\\P(X=14)=\frac{20!}{14!(20-14)!} (0,8)^{14}(1-0,8)^{20-14}\\\\P(X=14)=0,109$

b) Como la función de probabilidad es discreta, para hallar la probabilidad de que al menos 10 peces sobrevivan, tenemos que sumar las probabilidades para cada valor de X, pero también de la tabla de distribución binomial entrando con n=20, p=0,8 y x=9 podemos hallar la probabilidad de que a lo sumo 9 sobrevivan:

$P(x\leq 9)=0,0006$

Y la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan es:

$P(x\geq 10)=1-P(x\leq 9)=1-0,0006=0,9994$

c) Así, podemos hallar la probabilidad de que como mucho 16 peces sobrevivan entrando a la misma tabla pero con x=16:

$P(x\leq 16)=0,5886$

d) Como es una distribución binomial la media es:

$\mu=n.p=20.0,8=16$

Y la varianza es:

$\sigma^2=np(1-p)=20.0,8(1-0,8)=3,2$