Calcula la longitud de la cuerda determinada por la parábola x2 + 8y = 0 y la recta de ecuación y = 7x-11
Respuestas
Si no has visto integrales aún, y no has visto parametrización de curvas esto te va a sonar a chino.. pero esta es la respuesta a tu pregunta..
Idea geométrica: Supongamos una curva cualquiera en el espacio (en tu caso es una parábola en un plano) a la cual se le pega una cuerda de modo que se ajuste exactamente a la curva. Si la cuerda se despega, se enderesa y se mide con una regla recta, se obtiene es valor de la longitud de la curva.
La longitud de una curva parametrizada es:
l=integral(|c'(t)|) evaluada entre a y b (a y b son los extremos de la curva en x donde queremos hacer el cálculo)
En nuestro caso:
1. Parametrizamos la parábola y=(x^2)/20: (el signo ^ significa "elevado a")
hacemos x=t, y=(t^2/20), t un número real
y la parábola queda: c(t)=(t,1/20*t^2)
c'(t)=(1,t/10)
|c'(t)|=sqrt(1+(t^2)/100) (sqrt() es la raiz cuadrada)
así l = integral(sqrt(1+(t^2)/100) evaluada entre -15 y 15.
resolviendo la integral resulta:
15/2*13^(1/2)+10*ln(2)-10*ln(-3+13^(1/2))=38.98926674...
(Ln() es el logaritmo natural)
Como vez, este cálculo no es tan trivial (como en el caso de una recta o circunferencia), y es por eso que en general nunca lo pasa como fórmula cuando se estudia esta figura, sino que se espera hasta que se conozcan bien las integrales.
Si quieres aondar más en el tema, o te quedó alguna duda, no dudes en preguntar.. o bien, no te olvides de evaluar la respuesta ;) }