Question

Un barril lleno de petróleo hasta la mitad descansa de lado. Si cada extremo es circular, de 10 pies de diámetro, determine la fuerza total ejercida por el petróleo contra un extremo. Suponga que la densidad de petróleo es =50 libras por pie cúbico.

Answer 1

La fuerza ejercida por el petróleo contra cada una de las tapas es de $6,67\times 10^{5}lbf$

Explicación:

La fuerza ejercida por el petróleo sobre las paredes es:

$F=P.s$

O sea el producto entre la presión y el área, pero la presión es variable con la profundidad 'h' siendo su expresión:

$P=\delta.g.h$

Entonces tenemos un diferencial de fuerza en función de la profundidad que es:

$dF=\delta.g.h.ds=\delta.g.h.A.dh$

Donde el A es el ancho del barril a una profundidad dada, como su sección es circular queda:

$A=\sqrt{R^2-h^2}$

Y la expresión queda:

$dF=\delta.g.h.\sqrt{R^2-h^2}.dh$

Con lo cual la fuerza total es:

$F=\int\limits^R_0 {\delta.g.h\sqrt{R^2-h^2}} \, dh$

En esta ecuación podemos hacer una sustitución:

$u=R^2-h^2\\\\du=-2h$

Y queda:

$F=-2\delta.g\int\limits^R_0 {\sqrt{u}} \, du=-2\delta.g[\frac{(R^2-h^2)^{3/2}}{3/2}]^R_0=-2\delta.g[\frac{(R^2-R^2)^{3/2}}{3/2}-\frac{(R^2)^{3/2}}{3/2}]\\\\F=2\delta.g\frac{R^3}{3/2}\\\\F=2.50\frac{lb}{ft^3}.32,25\frac{ft}{s^2}.\frac{(10ft)^3}{3/2}\\\\F=6,67\times 10^{5}lb.32,25\frac{ft}{s^2}=6,67\times 10^{5}lbf$