Question

En una fiesta el encargado de servir las bebidas decide armar una pirámide de vasos de tal manera que al llenar por completo el primero, este comienza a llenar cuatro vasos que están en el piso de abajo y al llenar estos vasos se llenan 9 que a su vez llenan 16, etcétera. Determina el número de vasos que se llenaran para una pirámide de 7 pisos.

PD: Con operaciones por favor!

Answer 1

Se trata de una sucesión cuadrática a la vista de los datos ya que hay que fijarse en la manera en que aumentan los términos de la progresión.

Términos:                1º              2º             3º            4º
Vasos:                     1                4              9            16 ... etc
Diferencia 1:                   +3             +5            +7    ⇒⇒⇒⇒⇒⇒ (primer orden)
Diferencia 2:                            +2            +2            ⇒⇒⇒⇒⇒⇒(segundo orden)

Puede verse como una sucesión dentro de otra sucesión y en el segundo orden es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 entre dos términos consecutivos.     

El ejercicio nos pide la cantidad de vasos que se llenarán en el piso más bajo de una pirámide de 7 pisos, por tanto nos está pidiendo el término nº 7  (a₇).

Obviamente no es un término muy alejado del primero y podría sacarse por tanteo simplemente añadiendo la cantidad correspondiente a cada piso de la pirámide pero está claro que el ejercicio persigue que se resuelva con las fórmulas de una sucesión.

Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general (o enésimo, $a_n$ ) debe tener esta forma:
$a_n = an^2+bn+c$  
... expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión en concreto hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos de lo que he escrito arriba.

Vasos = .........1 ... que llamaré C
Diferencia 1 = +3 ... que llamaré B
Diferencia 2 = +2 ... que llamaré A

Hay que acudir a esta expresión:
$a_n= \frac{A}{2} n^2+(B- \frac{3}{2} A)n+(A-B+C)$

(no me preguntes de dónde sale porque hasta ahí no llego, algún cerebrito debió deducirla y es la que se usa para encontrar el término enésimo de cualquier sucesión cuadrática, toca memorizarla)

Ahora sólo hay que sustituir el valor de A, B, C, en esa expresión y resolver...

$a_n= \frac{2}{2}* n^2+(3- \frac{3}{2} *2)*n+(2-3+1) \\ \\ a_n=n^2+0*n+0 \\ \\ a_n=n^2$

Si usamos ese término enésimo para calcular el que nos pide el ejercicio:
$a_7 = 7^2 = 49$

En el piso séptimo de la pirámide habrá 49 vasos.

Si la pregunta pide el total de vasos que se llenarán, hay que sumar el valor de todos los términos:
1+4+9+16+25+36+49 = 140 vasos.

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

1+4+9+16+25+36+49 = 140 vasos.